AMC 12 備考計數板塊公式、定理、方法匯總

再過半個(ge) 月就是 AMC 10 和 AMC 12 的考試日了，同學們(men) 都做好迎考準備了麽(me) ？

熟話說 “臨(lin) 陣磨槍不亮也光”，最近一段時間，我都在給大家更新關(guan) 於(yu) AMC 10 與(yu) AMC 12 的必背定理，包含代數、幾何、數論、計數。

今天是要講的是在計數部分中，AMC 12 會(hui) 考到的定理與(yu) 典型問題。除了之前介紹過的一些在計數和概率統計中可以使用的技巧，還有很多經典的問題類型。

1.二項分布（Binomial Distribution）

2.對稱性原理（Symmetry）

3 路線問題（Number of Paths）

4 解析幾何在概率問題中的應用

1二項分布（Binomial Distribution）

二項分布簡而言之就像拋硬幣，每次隻會(hui) 出現對立的兩(liang) 種情況，且兩(liang) 種情況發生的概率之和為(wei) 1。如果重複 n 次，出現 x 次某一種情況的概率就可以表示為(wei) ：

其中 p 是該時間每次發生的概率，q 為(wei) 對立事件每次發生的概率。

即便不是一個(ge) “50/50” 的硬幣，我們(men) 也能算出，要求情況的概率。

AMC 12B 2015 Q21 （答案見最後）

2對稱性原理（Symmetry）

有這樣一類問題，其中包含著一組組對稱的情況。例如，我們(men) 會(hui) 發現，兩(liang) 個(ge) 骰子擲出的數字之和，得到 “3” 的概率和得到 “11” 的概率是一樣的。

對於(yu) 條件中隱藏著對稱性情況的概率題目，可以直接通過對稱性，簡化相應概率的求解過程。

例如下麵這道題，你有沒有發現其中包含的對稱情況？

AMC 12B 2018 Q13 （答案見最後）

3路線問題（Number of Paths）

從(cong) A 點到 B 點，每次隻能向右或者向上移動一個(ge) 單位， 一共有多少種不同的路線呢？這就是一個(ge) 典型的路線數目求解問題。

事實上，無論是怎麽(me) 走，都需要移動相同的步數。不僅(jin) 如此，向某一方向移動的總次數也是固定的。所以像這樣的路線數目求解，可以轉化為(wei) 一個(ge) 普通組合數的求解。

下麵這道例題的地圖更加複雜一些，但萬(wan) 變不離其宗。

AMC 12A 2010 Q18 （答案見最後）

4解析幾何在概率問題中的應用

在 AMC 的概率題中，還有一類問題適合將已知條件轉化為(wei) 坐標係的中的曲線，進而計算出滿足條件的麵積所占比例。對於(yu) 一些特殊表達式，這裏給出了它們(men) 對應的曲線。

麵對壓軸題難度的概率問題，當你沒有思路的時候，不妨畫畫圖。

AMC 12A 2015 Q23（答案見最後）

答案與(yu) 解析