AMC8真題第10期解析-不等式

上一期的AMC8真題主要考察了素數、單位換算、方程和不等式等知識哦。

來看看本期老師帶來的答案解析吧！

第1題

The numbers from 1 to 49 are arranged in a spiral pattern on a square grid, beginning at the center. The first few numbers have been entered into the grid below. Consider the four numbers that will appear in the shaded squares, on the same diagonal as the number 7. How many of these four numbers are prime?

從(cong) 1到49的數字在正方形網格上以螺旋形排列，從(cong) 中心開始。前幾個(ge) 數字已經輸入到下麵的表格中。考慮將出現在陰影正方形中的四個(ge) 數字，它們(men) 與(yu) 數字7在同一對角線上。這四個(ge) 數中有幾個(ge) 是素數?

【AMC8真題】第10期解析-不等式

這道題目最穩妥的方法就是一個(ge) 一個(ge) 數，得出陰影中的四個(ge) 數字再判斷。

我們(men) 把數字都標出來，得到下圖：

【AMC8真題】第10期解析-不等式

那麽(me) 陰影的數字分別為(wei) 39，19，23，47。

要知道有幾個(ge) 素數，同學們(men) 需要了解素數的概念：

質數（prime number）又稱素數，有無限個(ge) 。一個(ge) 大於(yu) 1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數整除，換句話說就是該數除了1和它本身以外不再有其他的因數；否則稱為(wei) 合數。

陰影的四個(ge) 數，隻有19，23和47除了1和數字本身，不能被其他自然數整除，

而39除了能被1和39整除，還能被3、13整除，

因此這四個(ge) 數中有三個(ge) 是素數。

第2題Viswam walks half a mile to get to school each day. His route consists of 10 city blocks of equal length and he takes 1 minute to walk each block. Today, after walking 5 blocks, Viswam discovers he has to make a detour, walking 3 blocks of equal length instead of 1 block to reach the next corner. From the time he starts his detour, at what speed, in mph, must he walk, in order to get to school at his usual time?

Viswam每天步行半英裏去上學。他的路線由10個(ge) 長度相等的城市街區組成，每個(ge) 街區走1分鍾。今天，在走了5個(ge) 街區後，Viswam發現他必須繞道才能到達下一個(ge) 街角（如下圖所示）。從(cong) 他開始繞路的那一刻起，為(wei) 了在平時的時間到達學校，他必須以多快的速度(以英裏為(wei) 單位)步行?

【AMC8真題】第10期解析-不等式

這道題考察數字運算和單位換算。

已知全程長度為(wei) 半英裏，一共10個(ge) 街區，步行經過每個(ge) 街區需要1分鍾，

所以一個(ge) 街區的長度為(wei) 0.05英裏，Viswam原本行走的恒定速度為(wei) 0.05英裏/分鍾，

時間=路程÷速度，

所以平時花費的時間為(wei) 0.5英裏÷0.05英裏/分鍾=10分鍾。

由圖可知，Viswam今天多走了2×0.05=0.1英裏，

如果需要和平時一個(ge) 時間到學校，步行花費時間應該和平時相等，即都為(wei) 10分鍾。

已知今天走了5個(ge) 街區後，還剩下5個(ge) 街區要走，且時間已經過去了5分鍾，

那麽(me) 剩下的路程為(wei) 5×0.05+2×0.05，剩下的時間為(wei) 5分鍾，

假設需要速度為(wei) X英裏/分鍾才能和平時同一時間到校，

可以列出等式：

（5×0.05+2×0.05）÷X=5

X=0.07英裏/分鍾

題目問的單位是mph（英裏/小時），所以再用0.07×60分鍾=4.2mph，

因此，Viswam必須以4.2mph步行才能準時到達學校。

第3題

Fifteen integers a1, a2, a3,..., a15 are arranged in order on a number line. The integers are equally spaced and have the property that 1≤a1≤10，13≤a2≤20 and 241≤a15≤250. What is the sum of digits of a14?

15個(ge) 整數a1，a2，a3…，a15在數軸上按順序排列。整數間隔相等，且1≤a1≤10，13≤a2≤20，241≤a15≤250。問a14的數字和是多少?

我們(men) 可以通過尋找符合條件的數，從(cong) 而找到共同差的可能值。

首先，最後兩(liang) 項的最小值為(wei) 241-20=221，最大值為(wei) 250-13=237，

因為(wei) 17×13=221，所以17符合221≤13X≤237。

18同理，18×13=234，符合條件。

而19×13＞237，不符合條件。

現在，我們(men) 用同樣的方法檢查第一和最後一項式子，

已知241-10≤14X≤250-1，

因此，231≤14X≤249。

所以18不符合該不等式，而17才能同時符合兩(liang) 個(ge) 不等式的差值。

最後一步，求出第一項，已知第一項僅(jin) 能是1-3，因為(wei) 任何更大的值都會(hui) 讓第二個(ge) 不等式不成立。

將1，2，3分別代入，隻有a1=3符合不等式條件。