如何認識微積分方法與原理？

恩格斯在《反杜林論》中說：“變數的數學——其中最重要的部分是微積分。”馮(feng) ·諾依曼說：“微積分是近代數學中最偉(wei) 大的成就，對它的重要性做怎樣的估計都不會(hui) 過分。” 可見微積分在數學中的重要性。通常說的“微積分”由方法和原理兩(liang) 部分構成，而原理部分是微積分的核心。

然而人們(men) 很少有意識去區分微積分方法和微積分原理，但兩(liang) 者畢竟不是一回事。從(cong) 微積分的教學角度來看，高數側(ce) 重於(yu) 對方法的學習(xi) ，而數分更側(ce) 重於(yu) 對原理的學習(xi) 。方法是為(wei) 實踐服務的，並通過實踐來檢驗它的效果；原理是搞懂“是什麽(me) ”和“為(wei) 什麽(me) ”，是為(wei) 揭示方法背後的機理服務的。

本文的寫(xie) 作目的是希望幫助讀者能夠更好地認識微積分方法和微積分原理，從(cong) 而對微積分自身有一個(ge) 更加深刻的認識。

牛頓和萊布尼茨幾乎在同一時期，獨立地創立了微積分。這是一項影響深遠的偉(wei) 大發明。遺憾的是，牛頓一生也沒有形成一個(ge) 相對成熟的微積分體(ti) 係，他的求導數方法（即流數法或首末比法）飽受詬病，關(guan) 鍵在於(yu) 對“ο”的理解上。

而萊布尼茨的微積分理論雖然簡潔，但他的微分定義(yi) 說不清楚。不清楚的原因就在於(yu) 他認為(wei) 微分是相鄰兩(liang) 點之差。實際上，相鄰兩(liang) 點，即使是放在現行的實數係中也是不存在的。所以雖然說兩(liang) 人都創建了微積分，但是它並沒有形成一個(ge) 完備的原理體(ti) 係。

微積分的曆史告訴我們(men) ，盡管在當時並沒有建立起完備的微積分原理，但是它已與(yu) 廣泛的應用緊密交織在一起，刺激和推動著許多數學新分支的建立。18世紀，可以說是分析的時代。

自從(cong) 微積分建立之後，整個(ge) 數學的主流進入了微積分的大發展，而它主要表現在微積分方法的大發展。特別是歐洲大陸這邊的數學家，如伯努利兄弟、歐拉、達朗貝爾、拉格朗日等人做了大量的貢獻。與(yu) 此同時，由於(yu) 牛頓和萊布尼茨的微積分不嚴(yan) 格，也有一部分數學家做了種種嚐試來克服微積分基礎的困難，盡管這在當時還不是主流。

經過近一個(ge) 世紀的嚐試和醞釀，數學家們(men) 在嚴(yan) 格化基礎上重建微積分的努力在19世紀初開始獲得成效，後經柯西、魏爾斯特拉斯、黎曼、康托、勒貝爾等人才最終建立起嚴(yan) 格的微積分原理。

柯西從(cong) 牛頓“消失量的最終比不是最終量之比，而是這些無限減少的量的比的極限”中受到啟發，提出了使用極限思想建立微積分體(ti) 係；魏爾斯特拉斯給出了極限論嚴(yan) 格的形式化描述，即現行的ε-δ語言；而後，曆經黎曼的積分思想，康托的集合論，勒貝格的積分思想（基礎是測度論），最終形成現行的微積分體(ti) 係，也被稱作第二代微積分體(ti) 係。

究其本質而言，是用極限思想發展了牛頓的微積分原理，並引進了萊布尼茨的記號從(cong) 而形成的一套體(ti) 係。需要注意的是，此時微積分體(ti) 係的核心已經從(cong) 微分變為(wei) 導數了。

我們(men) 今天談微積分，大家沒有很明確地區分微積分方法和微積分原理。那麽(me) 什麽(me) 是微積分方法和微積分原理？我們(men) 為(wei) 什麽(me) 又要加以區分呢？微積分方法是人們(men) 以微積分為(wei) 工具解決(jue) 問題的手段和途徑。比如在牛頓、萊布尼茨創建微積分之前就積累了大量的問題，主要歸結為(wei) 兩(liang) 類問題：以求曲線切線、求瞬時變化率、求函數極值等為(wei) 主的微分問題和以求麵積、體(ti) 積等為(wei) 主的積分問題。

當然在牛萊之後又產(chan) 生了很多新問題，那麽(me) 我們(men) 就需要以微積分為(wei) 工具解決(jue) 這些問題。18世紀主要是微積分方法的發展。微積分基本方法包括微分方法、導數方法和積分方法。積分方法具體(ti) 又包括換元積分法和分部積分法。

人們(men) 通過對無理函數積分的研究，發現有一些函數的積分不能用已知的初等函數表示，最終在19世紀20年代建立了深刻的橢圓函數理論。

當我們(men) 拿著微積分基本方法去應用的時候，還可以產(chan) 生一些新東(dong) 西。常微分方程、偏微分方程、微分幾何、泛函分析等學科是伴隨著微積分的發展而產(chan) 生的。有了微分方程，經過歐拉、達朗貝爾、拉格朗日等數學家的努力，也就出現求解微分方程的方法。當微積分用於(yu) 研究曲線曲麵的時候，後麵也出現了解決(jue) 相應幾何問題的微分幾何方法。

函數的概念可以推廣到泛函，於(yu) 是出現變分法。以常微分方程為(wei) 例，人們(men) 逐漸發現了分離變量法、變量代換法、參數變易法、積分因子法等方法。

到1740年左右，幾乎所有求解一階方程的初等方法都已知道。高階常微分方程求解的重要突破，是歐拉1743年關(guan) 於(yu) n階常係數線性齊次方程的完整解法，當時歐拉引進了著名的指數變換。18世紀常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774-1775年間用參數變易法解出了一般n階變係數非齊次常微分方程。

那什麽(me) 是微積分原理呢？在此之前，我們(men) 先搞明白什麽(me) 是原理。以力學為(wei) 例，在“力”這個(ge) 概念沒有揭示之前，和“力”相關(guan) 的現象也在被研究著。比如說我們(men) 造小推車，我們(men) 搞的是個(ge) 圓形的輪子，而不是平的什麽(me) 東(dong) 西往前推，這說明什麽(me) ？

這說明人們(men) 在沒有“力”這個(ge) 概念之前，就憑借經驗這麽(me) 幹，因為(wei) 它推起來更省力。但是為(wei) 什麽(me) 這樣做會(hui) 更省力？有了“力”這個(ge) 概念之後，我們(men) 知道通過摩擦力可以去解釋這個(ge) 問題。因為(wei) 我們(men) 可以比較這兩(liang) 者之間的摩擦力，它有滑動摩擦力和滾動摩擦力的區別，而滾動摩擦力阻力更小，那麽(me) 搞個(ge) 圓形的輪子它就會(hui) 更省力。

這樣我們(men) 就把它的原理給揭示出來了。一旦原理被揭示了，我們(men) 還可以用原理去設計更好地減弱滾動摩擦力的東(dong) 西。以汽車駕駛為(wei) 例，它的滾動摩擦力是作為(wei) 阻力，我們(men) 可以想辦法改變輪胎的材質和形狀來盡可能減少滾動摩擦力。

但滑動摩擦力也有一部分作用，滑動摩擦力要使它發生相對的位移。滑動摩擦力在有些情況下是越大越好，比如下雪天，因為(wei) 滑動摩擦力不夠大的話，輪胎就會(hui) 出現打滑。為(wei) 什麽(me) 要在輪胎上刻上花紋，花紋的設計就是為(wei) 了增大滑動摩擦力。

原理的重要性在於(yu) ，我們(men) 可以用原理去優(you) 化原先的設計。那麽(me) 對於(yu) 微積分也是一樣。微積分方法行之有效，我們(men) 需要把它最核心的概念給提煉出來，在這些概念之上形成一個(ge) 數學的演繹體(ti) 係。這個(ge) 體(ti) 係，它要能夠去解釋已有的這些方法為(wei) 什麽(me) 是正確的，把它的本質揭示清楚。

不僅(jin) 如此，還要能去優(you) 化已有方法的一些數學表述，乃至是發展更多的微積分方法。原理就是要起到這樣一個(ge) 作用。當然，我們(men) 還要要求這個(ge) 原理能夠做到邏輯自洽，並且盡可能簡潔。

這才是我們(men) 談的微積分原理，它具體(ti) 的表現是一個(ge) 數學的演繹體(ti) 係。在以極限概念為(wei) 核心的現行微積分原理體(ti) 係下，它主要表現在極限、實數、集合、函數、連續、導數、定積分、不定積分、微分等基本概念以及由這些基本概念構成的演繹體(ti) 係。我們(men) 說微積分方法是放之四海而皆準的，因為(wei) 它的正確性已經通過實踐來證明了。

但是它為(wei) 什麽(me) 正確不能隻停留在實踐的檢驗上，人們(men) 也需要從(cong) 原理角度去揭示它背後的機理，甚至去優(you) 化它或者去發現更多的微積分方法。這是微積分原理與(yu) 微積分方法根本不同的地方。事實上我們(men) 常常混淆這兩(liang) 個(ge) 概念。

微積分方法的正確性不用靠微積分原理去做證明，因為(wei) 實踐已經證明了，而隻是需要微積分原理能夠更好地去解釋它。同樣的，我們(men) 也不能說因為(wei) 微積分方法是正確的，所以微積分原理就沒有問題。

如果是這樣，我們(men) 就不需要以極限概念為(wei) 核心的現行微積分原理了，因為(wei) 牛頓和萊布尼茨的不完備的微積分原理就足夠了。人們(men) 對客觀事物的認識，是一個(ge) 由生動直觀到抽象思維，由感性認識到理性認識的不斷深化的過程。

微積分原理的有效性完全要靠它的邏輯自洽性和簡潔實用性來證明。原理的產(chan) 生不是一蹴而就的，但它也不是死的。當一個(ge) 原理不能起到應有的作用時，它就還有進一步發展的空間。