一個巴掌的能量有多大？巴掌能量建模計算分析

引言

在很多的影視作品中，都有扇耳光的劇情，例如電影《幸福 59 厘米之小馬》中就有羅永浩自扇耳光的經典名場麵（圖 1）。

圖 1: 羅永浩經典自扇名場麵

在 2022 年的第 94 屆奧斯卡金像獎頒獎典禮上也出現了扇耳光的一幕：因不滿頒獎嘉賓調侃妻子的缺陷（脫發），好萊塢知名影星威爾·史密斯在大庭廣眾(zhong) 之下狠狠扇了頒獎嘉賓克裏斯·洛克一巴掌（圖 2）。

圖 2: 洛克：我大意了啊，沒有閃！

從(cong) 史密斯扇洛克巴掌的視頻中不難看出，這一巴掌下手可不輕。一個(ge) 響亮的巴掌可能蘊含著巨大的能量。圖 3 顯示的是一名男子被抽了一巴掌的慢鏡頭^[1]，從(cong) 中可以清楚地看到：麵部皮膚、組織和骨骼在被抽打的瞬間發生了巨大的挫動。

圖 3: 一個(ge) 把臉都抽變形的完美巴掌

更有外國網友製作了一台機械巴掌機，並用此機械裝置抽熟了一隻雞和一塊牛排^[2]。

圖 4: 外國網友用機械巴掌抽熟了一隻雞

一個(ge) 巴掌的能量到底有多大？本文將通過分析史密斯扇洛克巴掌的視頻，建立模型估計這一巴掌的能量，以及洛克的臉在此過程中受到的衝(chong) 擊力大小。

實驗

針對“一個(ge) 巴掌的力量有多大？”這個(ge) 問題，德國慕尼黑法醫學研究所的生物力學家進行了實驗研究^[3]。實驗通過高速相機和力學傳(chuan) 感器記錄下了 30 名受試者在輕拍和重（zhòng）拍過程中手掌的位置和衝(chong) 孔墊的受力。圖 5 和 6 是其中一名典型受試者的實驗數據。

圖 5: 輕拍和重（zhòng）拍的實驗快照

實驗數據表明，典型的輕拍和重拍對衝(chong) 孔墊的最大作用力可達 120 N 和 1500 N，接觸時間t大約為(wei) 0.012 s 和 0.015 s。

圖 6: 輕拍和重拍的力－時間曲線

實驗中另一名受試者“重拍”時給出了 4417 N 的最大作用力。根據力－時間曲線F（τ）  可以計算出手掌對衝(chong) 孔墊的衝(chong) 量和平均作用力：

由此可計算出典型的輕拍和重拍對衝(chong) 孔墊的衝(chong) 量約為(wei) 10 N·s 和 1 N·s，平均作用力約為(wei) 860 N 和 80 N。以上實驗結果可用於(yu) 之後的模型參數估計及模型結果評價(jia) ，史密斯打洛克的這一巴掌顯然屬於(yu) “重拍”，並且比實驗中的“重拍”似乎更重。

模型

本文將史密斯扇洛克的過程簡化為(wei) 完全非彈性碰撞問題。這個(ge) 問題涉及多個(ge) 參數（圖 7）：手掌觸臉前後手掌的速度 υ0 和υt ，手臂的角速度 w0 和 wt，以及手掌觸臉（有力作用）的時間長度為(wei) t。接下來先估計這些參數的大小，然後在此基礎上建立模型求解該巴掌的力量和能量大小。

圖 7: 史密斯扇洛克過程示意圖

參數估計

史密斯揮動手臂的過程可以簡化為(wei) 勻速轉動過程（實際上揮臂初期存在短暫的加速），手臂轉動角速度可由轉過的角度除以轉動時間計算。根據對視頻（圖 2）的逐幀分析，我發現史密斯揮動手臂的過程僅(jin) 占 2-3 幀，視頻的幀率為(wei) 30 幀/秒，也就是說史密斯揮手過程的時間大約為(wei) 2.5  1/30 = 1/12 秒。

圖 8: 成年男性身高和臂長的關(guan) 係^[4]

由於(yu) 視頻的拍攝角度問題，手臂轉動的角度並不能直接觀測到。為(wei) 此，我模仿了圖 2 中的過程，我發現我手右臂大約需要旋轉 90 度。因此，手臂轉動的平均角速度約為(wei)

手掌觸臉速度可由手臂角速度乘以手臂長度得到。威爾史密斯身高 183 cm^[5]，根據身高和臂長的關(guan) 係（圖 8），估計其手臂長度約為(wei) 78 cm。因此，手掌觸臉速度約為(wei)

通過視頻還可以估算出手掌與(yu) 臉的接觸時間以及扇完臉後的速度。手掌與(yu) 臉接觸的時間發生在一幀以內(nei) ，即接觸時間 t< 1/30 秒。顯然，史密斯這一巴掌比實驗中“重拍”情形還“重”，因此接觸時間應該比實驗中的 0.012 s 更短。假設手掌與(yu) 臉接觸的時間為(wei) t= 0.01 s，這大約相當於(yu) 1/3 幀的時間。假設完成扇臉後的瞬間，史密斯的手掌與(yu) 洛克的頭具有相同的速度。臉被手掌擊中後的一幀中，頭大約偏移了 10 cm。也就是說，完成扇臉後瞬間手掌的剩餘(yu) 速度（= 頭偏移的速度）為(wei) 完成扇臉後的瞬間手臂剩餘(yu) 的角速度為(wei)

手掌平動模型

不少已有模型^[6]將扇臉過程簡化為(wei) 手掌與(yu) 臉的完全非彈性碰撞問題（圖 9）。

圖 9: 手掌平動模型

在這種模型中，手掌以一定的速度與(yu) 臉發生碰撞，碰撞完成後手掌與(yu) 頭具有相同的速度。根據動量定理：手掌在這個(ge) 過程中始末的動量變化量等於(yu) 臉對手掌的衝(chong) 量，即

其中 F是臉對手掌的作用力， t= 0.01 s 為(wei) 作用時間，υ0 = 14.7 m/s 和 = 3 m/s 為(wei) 作用前後手掌的速度， m為(wei) 手掌的質量。成年男性的手掌質量約占體(ti) 重的 0.65%^[7]，威爾史密斯目前的體(ti) 重約為(wei) 82 kg，因此史密斯一隻手的質量約為(wei) = 82 0.65% = 0.533 kg，和一隻豬蹄差不多重。將這些參數代入上式可得臉對手掌的作用力大小為(wei)

根據牛頓第三定律，手掌對臉的作用力大小等於(yu) 臉對手掌的作用力。因此，史密斯扇洛克時，洛克的臉受到的平均作用力大小約為(wei) 624 N。這個(ge) 力相當於(yu) 我 60 kg 的前女友體(ti) 重。打臉前後，巴掌損失的動能大小為(wei)

也就是說，史密斯這一巴掌釋放的能量約為(wei) 55 J。這個(ge) 能量有多大呢？大約可以供智能手機待機 9 分鍾（假設待機功率為(wei) 0.1 w）。但需要注意的是，55 J 的能量中隻有一部分轉化為(wei) 了洛克臉和史密斯手掌的熱能，另一部分則轉化為(wei) 了洛克頭的動能。

模型的結果合理嗎？模型計算出洛克的臉受到的平均作用力大小隻有約 624 N，而史密斯打洛克的這一巴掌明顯比實驗中的“重拍”更重。因此，上述模型給出的結果應該比實際值小。此外，還可以通過估算洛克頭部的等效質量  M來檢驗模型的合理性。洛克的頭在手掌的作用下，速度由 0 變為(wei) υt ，根據動量定理：頭在這個(ge) 過程中始末的動量變化量等於(yu) 手對臉的衝(chong) 量，即

顯然，上式給出的 2.1 kg 明顯小於(yu) 成年人頭部的質量。成年人頭部的質量一般占體(ti) 重的 8.3%^[7] 左右。對於(yu) 體(ti) 重 76 kg 的洛克，其頭部質量應為(wei) 6.3 kg 左右。因此，上式也表明模型並不合理。

手臂轉動模型

上述模型之所以低估了這一巴掌的力量和能量，原因可能是其忽略了手臂與(yu) 手的連接。手臂在此過程中轉動速度發生了變化，也損失了能量。為(wei) 簡化問題，將扇臉簡化為(wei) 杆（手臂）繞固定端（肩關(guan) 節）旋轉時，杆的另一端（手）與(yu) 臉發生碰撞的過程。碰撞後杆的非固定端（手）與(yu) 頭具有相同的速度（圖 10）。

圖 10: 手臂轉動模型

根據動量矩定理：手臂在這個(ge) 過程中始末的動量矩變化量等於(yu) 臉對手臂的衝(chong) 量矩，有

其中F 是臉對手的作用力（= 手對臉的作用力）, J為(wei) 手臂的轉動慣量。如果將手臂看成質量為(wei) m 、密度為(wei) p、長度為(wei) l、截麵積為(wei) S的均質杆，則其轉動慣量

。因此有

上式表明，一個(ge) 巴掌的力量與(yu) 手臂長度平方、截麵積（粗度）呈正比。換句話說，越長越粗的手臂，越容易扇出更大力的巴掌。

圖 11: 巴掌要想扇得響，手臂就得粗又長

正常男性的手臂重量約占其體(ti) 重的 5.7%^[7]。威爾史密斯目前的體(ti) 重約為(wei) 82 kg，因此這條手臂的質量約為(wei)   m= 82  5.7% = 4.7 kg。將手臂簡化為(wei) 長度為(wei) 0.78 m，質量為(wei) 4.7 kg 的均質杆，則手臂以肩關(guan) 節為(wei) 轉軸的轉動慣量為(wei) J =ml²/3  = 0.953 kg·m。將手臂的轉動慣量、與(yu) 臉作用前後的角速度w0  = 18.8 rad/s 和 wt = 3.8 rad/s，以及與(yu) 臉作用的時間長度 t = 0.01 s 代入上式可得臉對手掌的作用力大小為(wei)

根據牛頓第三定律，手掌對臉的作用力大小等於(yu) 臉對手掌的作用力。因此，史密斯扇洛克時，洛克的臉受到的平均作用力大小約為(wei) 1833 N。這個(ge) 力相當於(yu) 180 kg 英國大力士的體(ti) 重。模型的計算結果是否合理呢？相關(guan) 實驗表明，一巴掌的最大作用力可超過 4000 N^[8]，因此模型計算出的結果並不誇張。1833 N 的力並不小，看來是有備而來！打臉前後，手臂損失的轉動動能大小為(wei)

上式表明，一個(ge) 巴掌的能量與(yu) 手臂長度立方、截麵積（粗度）呈正比。換句話說，越長越粗的手臂，越容易扇出更大能量的巴掌。

圖 12: 俄羅斯扇巴掌比賽冠軍(jun) 的手臂很粗

上式計算出的這個(ge) 能量有多大呢？一公斤 TNT 炸藥的能量約為(wei) 4180 kJ，所以這個(ge) 巴掌的 TNT 當量約為(wei) 0.04 g。根據動量定理，還可以估算出洛克頭部的等效質量

這個(ge) 等效質量比手掌平動模型算出的合理多了，這也表明手臂轉動模型更為(wei) 合理。被扇巴掌後，洛克頭部增加的動能為(wei)

根據能量守恒，這一巴掌的能量中轉化為(wei)

手和臉的熱量為(wei) 假設轉化為(wei) 手的熱量和轉化為(wei) 臉的熱量各占一半。實際上對洛克臉組織造成傷(shang) 害的能量最終轉化為(wei) 了這部分熱量。如果假設洛克的半邊臉上的肉質量為(wei) = 0.5 kg，還可以算出這部分熱量可使洛克受擊打的半邊臉升溫

其中 = 2720 J/kg·℃ 為(wei) 肉的比熱（參考的雞肉^[9]）。由此可見，扇耳光導致的臉部溫度增加幾乎可以忽略不計。因此，被扇後麵部皮膚出現的灼熱感大多是疼的。為(wei) 了驗證這個(ge) 結論，我特地找來了對我恨之入骨的 11 位前女友，在每人給我左臉一巴掌後（我沒有閃，且相鄰兩(liang) 巴掌的時間間隔低於(yu) 1 秒），迅速測量我的左臉溫度。測量結果顯示左臉溫度與(yu) 右臉幾乎沒有任何差異（由於(yu) 場麵過於(yu) 血腥，實驗照片不便展示，感興(xing) 趣的讀者可自行約前女友們(men) 開展實驗）。

結論

一個(ge) 巴掌的能量有多大？針對這個(ge) 問題，本文根據 2022 年奧斯卡頒獎典禮上威爾·史密斯扇克裏斯·洛克一巴掌的視頻，建立手掌平動模型和手臂轉動模型分別計算了這一巴掌的能量和力量。手掌平動模型將打臉過程簡化為(wei) 手掌與(yu) 臉的完全非彈性碰撞問題。結果顯示：史密斯這一巴掌的力量約為(wei) 600 N，釋放的能量約為(wei) 55 J。通過與(yu) 已有實驗結果的對比，本文發現平動模型因忽略了手臂與(yu) 手的連接，給出的結果明顯偏小。考慮到在此過程中手臂的轉動角速度發生了變化（損失了能量），本文又建立了手臂轉動模型。模型結果表明史密斯這一巴掌的力量超過了 1800 N，釋放的能量超過 160 J。與(yu) 已有實驗結果的對比表明手臂轉動模型的結果是非常合理的。

此外，本文的模型還表明：想要增加一個(ge) 巴掌的力量和能量，可以通過增長、增粗手臂，提高擊打速度來實現。因此，找一個(ge) 身材嬌小瘦弱的女朋友是多麽(me) 的重要！

參考資料

[1]fatEguyfilms. Super slow-motion slap in the face, 2012: https://www.youtube.com/watch?v=7AXB8nGq5jc

[2]Louis Weisz. I cooked a chicken by slapping it, 2021: https://www.youtube.com/watch?v=LHFhnnTWMgI

[3]Jiri Adamec, Jutta Schöpfer, Peter Hofer, Stefan Pittner, Matthias Graw, and Fabio Monticelli. Die ohrfeige. teil 1–allgemeines und biomechanik. Rechtsmedizin, 30(1):1–7, 2020: https://link.springer.com/article/10.1007/s00194-019-00362-3

[4]16HGulick. Correlation between height and average arm length, 2015: https://chart-studio.plotly.com/~16HGulick/11.embed

[5]Becca Bleznak. Will smith net worth 2022: Age, height, weight, wife, kids, bio-wik, 2022: https://www.wealthypersons.com/will-smith-net-worth-2020-2021

[6]Matrix Star. The oscar winner hits people on the spot! how powerful is this slap? 2022: https://lujuba.cc/en/668969.html

[7]Robert Allison. Weight of human body parts as percentages of total body weight, 2012: https://robslink.com/SAS/democd79/body_part_weights.htm

[8]J Adamec, J Schöpfer, P Hofer, S Pittner, M Graw, and Fabio Monticelli. The slap in the face. part 1-general aspects and biomechanics. Rechtsmedizin, 30(1):1–7, 2020.

[9]Engineering ToolBox. Food and foodstuff - specific heat, 2003: https://www.engineeringtoolbox.com/specific-heat-capacity-food-d_295.html