美國大學生數學建模競賽MCM近五年題型分析（一）

轉眼之間又到了美賽報名階段，小夥(huo) 伴們(men) 是否疑惑美賽到底有哪些題目？ABC題究竟有什麽(me) 區別？別急，今天就給大家整理了一份近五年美賽MCM題目攻略，帶你快速揭開MCM的神秘麵紗。

01美賽題目有哪些

美國大學生數學建模競賽分為(wei) 兩(liang) 種類型，MCM（Mathematical Contest In Modeling）和ICM（Interdisciplinary Contest In Modeling)，兩(liang) 種類型競賽采用統一標準進行，競賽題目出來之後，參數隊伍通過美賽官網進行選題，一共分為(wei) 6種題型。

MCM是包括A、B、C三道題目。

A題是指連續型（continuous），具體(ti) 可以理解為(wei) 是連續函數建立一類模型。常用方法是微分方程，並多為(wei) “數值分析”領域的內(nei) 容，需要熟練掌握偏微分方程以及精通將連續性方程離散化求解的編程能力。

B題是離散型（discrete）具體(ti) 需要在編程上比較熟悉計算機的 “算法與(yu) 數據結構”。

C題是數據分析型（data insights），最好是有統計學、數理金融、量化分析相關(guan) 背景的知識。C題除了MATLAB、Python還可以是用無需編程的SPSS，也可能會(hui) 用到R、STATS、SAS等統計軟件。

ICM包括D、E、F三道題目。D題一般為(wei) 運籌學或網絡科學（operations research/network science），近幾年網絡科學是一個(ge) 熱門研究領域，算法、軟件包括可視化的軟件都很多。E題是環境科學題（sustainability），大體(ti) 上會(hui) 集中在環境汙染、資源短缺、可持續發展、生態保護等幾個(ge) 方麵。F題是政策研究題（policy），EF題的數據一般需要自己搜集哦。

六道題目代表的類型匯總在下麵的表格裏啦~

官方給出的六個(ge) 問題的描述，對於(yu) 選題有一定的提示作用，但是六道題目之間沒有嚴(yan) 格的模型劃分，解答範圍仍然很廣，每道題所用模型、方法沒有明顯的界限。因此小夥(huo) 伴們(men) 在寒假先要摸清楚不同題目常用的模型算法、寫(xie) 作套路以及題目風格，比賽時根據自己隊伍擅長的東(dong) 西慎重選題。

02近五年美賽A題特點

分析，在六道題目中，相對而言，A題是對同學們(men) 的數學模型素養(yang) 以及建模能力要求較高的。同時A題的專(zhuan) 業(ye) 性較強，非專(zhuan) 業(ye) 相關(guan) 的同學對題目的理解較難。

例如2018年的A題：多跳HF無線電傳(chuan) 播，這道賽題包含大量的專(zhuan) 業(ye) 名詞，如電離層、最大可用頻率、地麵源、連續跳躍、局部介電常數等，大大增加了同學們(men) 對賽題的理解難度。可能在比賽的第一天就要花上幾個(ge) 小時先百度清楚這道題裏麵的術語，從(cong) 而保證能正確地理解題中描述的物理過程。

圖：2018年A題

同樣， 2018年A題的許多O獎論文中，出現了大量的物理示意圖和解析圖，可謂是一邊建模，一邊“穿越”回到數學與(yu) 物理課堂，和隊友一起在線頭禿，互相講題。

圖：2018年A題O獎隊伍#76271

圖：2018年A題O獎隊伍#76082

但A題隻有晦澀難懂的一麵嗎？不，A題有時候還很有想象力，非常具有美賽特色。咱們(men) 一起來看看2019年的A題吧，關(guan) 於(yu) 養(yang) 龍這件事你有什麽(me) 方法嗎？題目叫做”A Game of Ecology”，這確定不是”A Game of Thrones”？

題目背景是說，在虛構的電視劇《權力的遊戲》中，根據史詩奇幻小說《冰與(yu) 火之歌》改編，三條龍由“龍之母”丹妮莉絲(si) · 坦格利安撫養(yang) 長大孵化出來的龍很小，大約10公斤，一年後長到大約30-40公斤。它們(men) 一生都在繼續生長，但這取決(jue) 於(yu) 它們(men) 所能獲得的食物的條件和數量。想象一下這三條虛構的龍現在活著。

假設上麵描述的龍的基本生物學是準確的。你需要對龍做出一些額外的假設，比如，龍能夠飛得很遠，噴火，還能抵抗巨大的創傷(shang) 。你的團隊負責分析龍的特征，行為(wei) ，習(xi) 慣，飲食，以及與(yu) 環境的互動。一旦你對龍的分析完成，寫(xie) 一封兩(liang) 頁的信給《冰與(yu) 火之歌》的作者，喬(qiao) 治·馬丁，提供關(guan) 於(yu) 如何保持故事的真實生態基礎的指導，特別是關(guan) 於(yu) 龍從(cong) 幹旱地區遷移到溫帶地區和北極地區的情況。

乍一看這不是要咱們(men) 給作者出出主意，告訴他應該如何“科學養(yang) 龍”，但仔細理解後不難發現，這道題實際上是生態學問題，建模要考慮氣候因素、地理環境以及生物特征等因素，從(cong) 而給出龍生存的機理分析。

腦洞大開的A題激發了許多隊伍的想象力，有的O獎隊伍甚至展現了精湛的繪畫技術，把“龍”畫在了論文裏，展現了“漫畫沉浸式”答題，下麵幾張圖片就是該優(you) 秀論文裏麵的幾張手畫圖片，感興(xing) 趣的小夥(huo) 伴可以整篇文章都看看哦。看到這裏的小夥(huo) 伴們(men) 是不是對今年的A題有所期待了呢？

圖：2019年A題O獎隊伍#1910246

圖：權力的遊戲第八季海報宣傳(chuan)

另外，A題近兩(liang) 年的題目偏機理分析與(yu) 預測類，例如，2020年A題向北移動（Moving North）,題目中要求預測兩(liang) 種魚類在未來五十年內(nei) 最有可能出現的位置，並且使用模型來預測最佳情況、最壞情況和最有可能出現的時間。2021年A題真菌繁殖（Funji）提供一個(ge) 模型以描述不同類型真菌之間的相互作用。

相互作用的動態性描述應該包括短期和長期趨勢。還應該檢查對環境變化波動的敏感性，並確定大氣環境的不變變化趨勢是什麽(me) ，以輔助評估天氣變化對模型的影響。還要包括對“每個(ge) 物種”或“可能持續一段時間的物種組合”的相對優(you) 勢和相對劣勢的預測，並對幹旱、半幹旱、溫帶、喬(qiao) 木、熱帶雨林等不同環境進行預測。

因此，大家在美賽A題的學習(xi) 中可以多準備一些機理分析、預測相關(guan) 的模型算法和解題思路，如時間序列模型、遺傳(chuan) 算法、神經網絡、微分方程求解等。微分方程可以使用常見軟件MATLAB來求解分析，並且微分方程可以寫(xie) 成一般的函數形式。微分方程的建模必須做數值模擬，可以采用MATLAB來做方程的表達形式圖形，畫出變量間的關(guan) 係。

03近五年美賽B題特點

分析，在六道題目中，相對而言，B題常常喜歡出優(you) 化類問題、圖論問題以及規劃類預測類問題。特別是對比2019年和2021年的B題，讓人有一種“新瓶換舊酒”的錯覺，不過仔細做起題來又有很多的差別。

首先，2019年B題派遣無人機空難救援，是標準的優(you) 化、圖論問題。

2019B題的第一問：整數規劃問題；第二問動態規劃問題；第三問調度方案。

2019年B題O獎獲獎隊伍#1915782的解題思路是：建立單目標規劃模型，以ISO集裝箱的空間利用率最大為(wei) 目標，並定義(yi) 了在裝載過程中的約束條件。並采用改進的3D-RSO算法進行求解。針對選址問題，以運輸時間最短和總偵(zhen) 察路程最長為(wei) 目標，建立了確定ISO集裝箱數量和位置的雙目標規劃模型。

讓我們(men) 再來看看2021年B題，無人機澳大利亞(ya) 大火救災，它是典型的優(you) 化、NP類問題，可能用到圖論類的模型、規劃模型、遺傳(chuan) 算法等。

第一問要求為(wei) “CFA的新部門——山火應急響應部門”建立一個(ge) 模型，用於(yu) 購買(mai) 最優(you) 數量比例的SSA無人機和無線電中繼器無人機。第二問說明你的模型是如何適應“未來十年極端山火事件”可能發生的變化？第三問設計一個(ge) 模型，以優(you) 化不同地形上的不同火情大小的VHF/UHF無線電中繼器無人機的位置。

2021年優(you) 秀論文隊伍#2127300的思路是：針對第一問采用目標為(wei) 設備成本最小化和消防效率和安全最大化進行優(you) 化，利用遺傳(chuan) 算法求解，得到最優(you) 方案為(wei) 中繼器24架，SSA無人機數量30架，總預算54萬(wan) 美元。針對第二問，訓練LSTIM模型預測未來十年的溫度，對火場數量與(yu) 日溫度關(guan) 係進行回歸分析，預測火場情況，模擬極端火災情況，代入第一問模型求得新的結果。問題三限製了EOC與(yu) 高山之間的距離，優(you) 化了一對移動EOC的搜索模型，找到9個(ge) 移動EOC。對遺傳(chuan) 模型進行優(you) 化，得到中繼機數量16架，最後評估了模型的穩定性。

同樣的，在2017年的B題車輛收費站問題，是典型的的優(you) 化問題，需要考慮收費站的形狀、大小、合並區域、吞吐量、事故預防、混合車道、ETC車道，自動駕駛車輛等等；確定收費站區域的數量；減少車輛合並的平均旅行時間和平均延遲時間；考慮特殊車道，用於(yu) 交通繁忙和緊急情況；交通流量對收費站容量的影響；收費站是否能滿足自動駕駛汽車的需求。2018年B題語言種類問題，屬於(yu) 圖論選址問題，考慮題目所給的因素，建立各種語言人群關(guan) 於(yu) 時間的分布模型；預測這些語言隨時間的地理分布，並為(wei) 新辦公室提供位置選擇。

因此，可以發現對於(yu) 美賽B題要多加練習(xi) 規劃類問題、優(you) 化類問題、圖論問題、選址規劃等等，積累多元分析法、遺傳(chuan) 算法、貪婪算法、神經網絡、元胞自動機等多種算法，模型中善於(yu) 改變約束條件進行優(you) 化。對於(yu) 離散型的變量和建立離散模型，可以運用多元統計分析方法來分析，如聚類分析、主成分分析、因子分析等。

04近五年美賽C題特點

美賽的C題是專(zhuan) 門考驗隊伍對數據的處理和統計識別的一道題目，偏重於(yu) 數據挖掘和編程能力。相對而言，C題的數據量在六道賽題中是最多的。並且一般數據是由題目給定的，2021年美賽C題確認關(guan) 於(yu) 黃蜂的傳(chuan) 言，它的數據是需要提前一天進入官網下載數據加密壓縮包，在發題當天再輸入密碼破解數據文件。下載的數據集包含4440份的目擊事件電子表格，其中3305項含有圖片ID和Global ID的數據。對數據需要進行預處理等，可以采用機器學習(xi) 、數據相關(guan) 性模型、皮爾斯係數、肯德爾係數等等。

另外，在2019年C題阿片類藥物危機問題，官方提供了幾個(ge) 供使用的數據集。

第一個(ge) 文件(MCM_NFLIS_Data.xlsx)包含2010-2017年間這五個(ge) 州每個(ge) 縣的麻醉性鎮痛劑(合成阿片類藥物)和海洛因的毒品識別計數。另外七個(ge) 文件是壓縮文件夾，其中包含美國人口普查局的摘錄，這些摘錄代表了在2010-2016年間每年這五個(ge) 州的縣收集的一組共同的社會(hui) 經濟因素(ACS_xx_5YR_DP02.zip)。第一問，利用NFLIS提供的數據，建立一個(ge) 數學模型，描述所報告的合成阿片類藥物和海洛因事件(病例)在這五個(ge) 州及其縣之間一段時間內(nei) 的傳(chuan) 播情況和特點。

第二問，利用提供的美國人口普查社會(hui) 經濟數據，解決(jue) 以下問題：誰在使用/濫用阿片類藥物，是什麽(me) 導致了阿片類藥物的使用和成癮的增長，以及為(wei) 什麽(me) 盡管阿片類藥物的使用存在已知的危險，但阿片類藥物的使用仍然存在。使用情況或使用趨勢是否與(yu) 提供的任何美國人口普查社會(hui) 經濟數據有某種關(guan) 聯？很顯然問題也是引導大家建模後挖掘數據背後的深層信息，找到一些關(guan) 聯和數據趨勢。

針對該題，2019年C題O獎隊伍#1901213用馬爾科夫方法建模，從(cong) 而可視化了2010年至2016年期間阿片類藥物在該地區的移動和傳(chuan) 播。對整個(ge) 數據集的社會(hui) 經濟因素的影響進行了建模，並將這些變化與(yu) 該縣阿片類藥物的使用隨時間的增長或減少聯係起來。

最後進行了多次模擬，並預測了毒品問題在未來很長一段時間內(nei) 的情況，以便從(cong) 不同的角度製定一些應對流行病的策略，從(cong) 對阿片類藥物傳(chuan) 播影響最大的變量中進行選擇。下圖，是2016年與(yu) 2017年3-甲基芬太尼縣級毒品報告可視化地圖。

圖源：2019年B題

優(you) 秀論文總的來看美賽C題會(hui) 要求掌握數據挖掘處理的相關(guan) 方法，包括預處理、後處理等。模型、方法方麵，可能主要集中在統計、模式識別等方向。數據預處理的基本方法包括處理異常值、缺失值等。數據分析與(yu) 建模常常需要合並參數（包括擬合、主成分分析等），以及數據歸一化。在C題中也可以運用如Python、SPSS、SAS等軟件平台處理數據。

大家看過了MCM的三大賽題之後是不是對A、B、C題的風格更加了解呢？迫不及待想看一看往年真題了吧？敲黑板再次總結一下：A題主要為(wei) 優(you) 化與(yu) 控製或者策略分析類賽題，需要有一定的微積分和目標及過程優(you) 化能力；B題主要是離散型賽題，常見出題點為(wei) 回歸或聚類分析、協同規劃等；C題為(wei) 大數據賽題，一般數據處理與(yu) 分析是必不可少的，進行相關(guan) 的模式識別或信息挖掘等。雖然每類賽題都各有特色，但獲得大獎的秘訣往往是紮實的模型基礎、出色的編程能力、創新性較強的寫(xie) 作展示以及團隊的默契配合，期待大家都能取得優(you) 異的比賽成績！