第 1 題. 設整數 n ≥ 100. 伊凡把 n, n + 1, . . . , 2n 的每個(ge) 數寫(xie) 在不同的卡片上. 然後他將這 n + 1 張卡片打亂(luan) 順序並分成兩(liang) 堆. 證明: 至少有一堆中包含兩(liang) 張卡片, 使得這兩(liang) 張卡片上的數之和是一個(ge) 完全平方數.
第 2 題. 對任意實數 x1, . . . , xn, 證明下述不等式成立:
第 3 題. 設 D 是銳角三角形 ABC (AB > AC) 內(nei) 部一點, 使得 ∠DAB = ∠CAD. 線段 AC 上的點 E 滿足 ∠ADE = ∠BCD, 線段 AB 上的點 F 滿足 ∠FDA = ∠DBC, 且直線 AC 上的點 X 滿足 CX = BX. 設 O1 和 O2 分別為(wei) 三角形 ADC 和三角形 EXD 的外心. 證明: 直線 BC, EF 和O1O2 共點.
第 4 題. 設圓 Γ 的圓心為(wei) I. 凸四邊形 ABCD 滿足: 線段 AB, BC, CD 和 DA 都與(yu) Γ 相切. 設Ω 是三角形 AIC 的外接圓. BA 往 A 方向的延長線交 Ω 於(yu) 點 X, BC 往 C 方向的延長線交 Ω 於(yu) 點 Z, AD 往 D 方向的延長線交 Ω 於(yu) 點 Y , CD 往 D 方向的延長線交 Ω 於(yu) 點 T . 證明:
AD + DT + TX + XA = CD + DY + Y Z + ZC.
第 5 題. 兩(liang) 隻鬆鼠 B 和 J 為(wei) 過冬收集了 2021 枚核桃. J 將核桃依次編號為(wei) 1 到 2021, 並在它們(men) 最喜歡的樹周圍挖了一圈共 2021 個(ge) 小坑. 第二天早上, J 發現 B 已經在每個(ge) 小坑裏放入了一枚核桃, 但並未注意編號. 不開心的 J 決(jue) 定用 2021 次操作來改變這些核桃的位置. 在第 k 次操作中, J把與(yu) 第 k 號核桃相鄰的兩(liang) 枚核桃交換位置. 證明: 存在某個(ge) k, 使得在第 k 次操作中, J 交換了兩(liang) 枚編號為(wei) a 和 b 的核桃, 且 a < k < b.
第 6 題. 設整數 m ≥ 2. 設集合 A 由有限個(ge) 整數 (不一定為(wei) 正) 構成, 且 B1, B2, B3, . . . , Bm 是 A的子集. 假設對任意 k = 1, 2, . . . , m, Bk 中所有元素之和為(wei) mk. 證明: A 包含至少 m/2 個(ge) 元素.
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