第 1 題. 考慮凸四邊形 ABCD. 設 P 是 ABCD 內(nei) 部一點. 且以下比例等式成立:
∠PAD : ∠PBA : ∠DPA = 1 : 2 : 3 = ∠CBP : ∠BAP : ∠BPC.
證明: ∠ADP 的內(nei) 角平分線、∠PCB 的內(nei) 角平分線和線段 AB 的垂直平分線三線共點.
第 2 題. 設實數 a, b, c, d 滿足 a ≥ b ≥ c ≥ d > 0, 且 a + b + c + d = 1. 證明:
(a + 2b + 3c + 4d) aa bb cc dd < 1.
第 3 題. 有 4n 枚小石子, 重量分別為(wei) 1, 2, 3, . . . , 4n. 每一枚小石子都染了 n 種顏色之一, 使得每種顏色的小石子恰有四枚. 證明: 我們(men) 可以把這些小石子分成兩(liang) 堆, 同時滿足以下兩(liang) 個(ge) 條件:
兩(liang) 堆小石子有相同的總重量;
每一堆恰有每種顏色的小石子各兩(liang) 枚.
第 4 題. 給定整數 n > 1. 在一座山上有 n2 個(ge) 高度互不相同的纜車車站. 有兩(liang) 家纜車公司 A 和 B, 各運營 k 輛纜車; 每輛從(cong) 一個(ge) 車站運行到某個(ge) 更高的車站 (中間不停留其他車站). A 公司的 k 輛纜車的 k 個(ge) 起點互不相同，k 個(ge) 終點也互不相同, 並且起點較高的纜車，它的終點也較高. B 公司的纜車也滿足相同的條件. 我們(men) 稱兩(liang) 個(ge) 車站被某個(ge) 公司連接，如果可以從(cong) 其中較低的車站通過該公司的一輛或多輛纜車到達較高的車站 (中間不允許在車站之間有其他移動).
確定最小的正整數 k, 使得一定有兩(liang) 個(ge) 車站被兩(liang) 個(ge) 公司同時連接.
第 5 題. 有一疊 n > 1 張卡片. 在每張卡片上寫(xie) 有一個(ge) 正整數. 這疊卡片具有如下性質：其中任意兩(liang) 張卡片上的數的算術平均值也等於(yu) 這疊卡片中某一張或幾張卡片上的數的幾何平均值.
確定所有的 n, 使得可以推出這疊卡片上的數均相等?
第 6 題. 證明: 存在正常數 c 具有如下性質:
對任意整數 n > 1, 以及平麵上 n 個(ge) 點的集合 S, 若 S 中任意兩(liang) 點之間的距離不小於(yu) 1，則存在一條分離 S 的直線 ℓ, 使得 S 中的每個(ge) 點到直線 ℓ 的距離不小於(yu) cn−1/3.
(我們(men) 稱直線 ℓ 分離 點集 S, 如果某條以 S 中兩(liang) 點為(wei) 端點的線段與(yu) ℓ 相交.)
注. 如果證明了比 cn−1/3 弱的估計 cn−α，會(hui) 根據 α > 1/3 的值，適當給分.
【競賽報名/項目谘詢+微信：mollywei007】
評論已經被關(guan) 閉。