今天要給各位分享的是第二屆IMO的第一題，題目如下：
讀完題目，我們(men) 很容易看出這道題主要考察了數論與(yu) 不定方程，如果我們(men) 設這個(ge) 三位數N的百位，十位和個(ge) 位分別為(wei) a,b,c的話，那麽(me) 我們(men) 就可以得到不定方程組：
如果我們(men) 直接消元的話，其實是不方便處理的，這時候就需要借助數論知識了。
那麽(me) 我們(men) “熟知”的11的整數倍滿足奇數位與(yu) 偶數位之差為(wei) 11的倍數在這裏的具體(ti) 表現就是N=100a+10b+c=11(9a-b)+a-b+c≡a-b+c(mod11),又因為(wei) a,b,c都是0~9之間的數，所以a-b+c=0或11，那我們(men) 就分情況來討論吧：
1° a-b+c=0，N=11(10a+c)
結合第二個(ge) 式子可得10a+c=a2+(a+c)2+c2.
顯然把a=1~9分別代入是可行但不明智的，這時候我們(men) 可以進行適當的放縮:10a+c=a2+(a+c)2+c2≥2a2+c,所以a隻能取1~5，那麽(me) 我們(men) 就剪了約一半的工程了，接下來就枚舉(ju) 吧
1.1°a=1,10+c=1+(1+c)2+c2,無非負整數解，舍。
1.2°a=2,20+c=4+(2+c)2+c2,無非負整數解，舍。
1.3°a=3,30+c=9+(3+c)2+c2,無非負整數解，舍。
1.4°a=4,40+c=16+(4+c)2+c2,無非負整數解，舍。
1.5°a=5,50+c=25+(5+c)2+c2,解得a=5,b=5,c=0,N=550。
2°a-b+c=11,N=11(10a+c-10)
結合第二個(ge) 式子可得10a+c-10=a2+(a+c-11)2+c2.
首先我們(men) 很容易想到上一種情況用到的放縮:
10a+c-10=a2+(a+c-11)2+c2≥a2+c
但是這次效果不是特別理想，a的取值在2~8之前，依然有7種情況，這時候我們(men) 就要繼續進行放縮了。注意a+c=11+b≥11，所以由基本不等式可知
a2+c2≥121/2,也就是說10a>10a+c-10=a2+(a+c-11)2+c2≥121/2,所以a的取值隻可能是7或8了，接下來就分類討論吧：
2.1°a=7,60+c=49+(c-4)2+c2,無非負整數解，舍。
2.2°a=8,70+c=64+(c-3)2+c2,解得a=8,b=0,c=3,N=803。
綜上所述，N=550或803。
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