國際數學奧林匹克競賽（International Mathematical Olympiad，簡稱為(wei) IMO）是匈牙利數學界於(yu) 1894年組織的數學競賽，旨在激發青年人的數學才能，引起青年對數學的興(xing) 趣，發現科技人才的後備軍(jun) ，促進各國數學教育的交流與(yu) 發展。有很多同學（包括作者本人）在高中階段都不敢接觸IMO試題，《IMO也沒有想象的那麽(me) 難》這一係列就讓我帶領各位走近IMO。其實早期的IMO試題還是比較簡單的，今天就讓我給大家分享一道IMO試題：
這道題是第1屆IMO的第5題，其實沒有達到現今高考題解析幾何的難度，主要是希望讀者能夠通過這道題來開拓一下思路。那讓我們(men) 正式開始對這道題的解讀：
首先是第一問，N是兩(liang) 個(ge) 外接圓交點(已知條件)不是很方便利用，而相比之下N是AF與(yu) BC交點(目標條件)利用起來比較方便，所以我們(men) 可以用同一法去證明AF與(yu) BC的交點是兩(liang) 個(ge) 外接圓的交點，再利用兩(liang) 直線交點的唯一性完成證明。那麽(me) 具體(ti) 做法如下：
設AF與(yu) BC交於(yu) N'，由於(yu) tan∠FAM=FM/AM,tan∠CBM=CM/BM=AM/FM,
故AF⊥BC於(yu) N'，再利用AC是圓P的直徑，BF是圓Q的直徑，可證N'分別在圓P與(yu) 圓Q上，而AF與(yu) BC的交點是唯一的，故N與(yu) N'重合，證畢。
讀者在思考第一問的時候主要是觀察到了AF⊥BC的關(guan) 係，進而利用幾何特征避免了代數運算。
好，讓我們(men) 帶著類似的想法來看一看第二問：首先根據對稱性我們(men) 很容易想到這個(ge) S點如果存在的話一定在直線AB上，或者是在線段AB的中垂線上，然而根據第一問提供的圖來看明顯是後一種更有可能成立，且S會(hui) 與(yu) N在AB異側(ce) 。以上猜測其實不難想到，接下來進行進一步的猜測，首先還原到題目所指向的圖本身，其實唯一不變的量就是AB是一條定線段，即線段AB的長度與(yu) 位置是確定的，那麽(me) S點到AB的距離和線段AB的長度是存在一定關(guan) 係的，這種情況下最容易猜想到的就是S到AB的距離是線段AB長度的一半，即A、S、B構成以AB為(wei) 斜邊的等腰直角三角形，事實上答案就是如此。那麽(me) 我們(men) 可以帶著這一猜測開始這一問的解答：
具體(ti) 做法還是要利用同一法，我們(men) 延長NM至S'，聯結AS'與(yu) BS',其中∠ABS'=45°。按照我們(men) 的設想AS'與(yu) BS'應該是垂直的，那麽(me) ANBS'應該共圓，∠ANS'=∠ABS'=45°，所以我們(men) 要證明∠ANS'=45°。好，我們(men) 觀察到AN/BN=tan∠CBM=CM/BM=AM/BM，利用角平分線定理可知∠ANS'=∠BNS'=45°，所以ANBS'共圓，∠AS'B=90°。顯然我們(men) 得到的S'是一個(ge) 定點，即MN上存在一定點S，其中A、S、B構成以AB為(wei) 斜邊的等腰直角三角形且S與(yu) N在AB異側(ce) 。
接下來第三問研究的是中點軌跡，這就比較適合建立直角坐標係，利用代數式之間的關(guan) 係來尋找幾何特征了。具體(ti) 做法如下：
設AB=l,AM=x,則BM=l-x,以AB為(wei) +x，AD為(wei) +y建立平麵直角坐標係xOy,故P(x/2,x/2),Q((l+x)/2,(l-x)/2),PQ中點T的坐標為(wei) ((l+2x)/4,l/4),其中0≤x≤l,故PQ中點T的軌跡為(wei) 一條長度為(wei) AB長度一半，與(yu) AB相距四分之一個(ge) AB長度的線段。這一問的做法並沒有利用太多幾何特征，主要是代數表示，其實更貼近現在高考的思路。
看完剛才的解答，其實可以發現早期的IMO試題難度不算太大，對於(yu) 一般的高中生而言是完全可以嚐試去接觸的，事實上IMO沒有你想象的這麽(me) 難。
【競賽報名/項目谘詢+微信：mollywei007】
評論已經被關(guan) 閉。