2021巴西數學奧林匹克 第二級 中文翻譯

第一天

1.凸四邊形中, (O_{A}, O_{B}, O_{C}) , (O_{D}) 分別為(wei) 三角形外心, 且這四個(ge) 點互不重合. 證明這四個(ge) 點一定不共圓.

2.設為(wei) 正整數, 在一個(ge) 的網格表中, 標記若幹個(ge) 單元格,使得任意一個(ge) 單元格與(yu) 至多兩(liang) 個(ge) 被標記的單元格相鄰. (注:兩(liang) 個(ge) 單元格相鄰,指兩(liang) 個(ge) 單元格有公共頂點,但不重合.)
(1)至多可以標記多少個(ge) 單元格?
(2)在標記最多的單元格的情況下, 有多少種方法?(旋轉或者鏡像的方法視為(wei) 不同的方法)

3.求所有正整數, 使得存在無理數, 以及正整數, 滿足對任意整數, 均有為(wei) 完全平方數.

第二天

4.如果實數集合是有界的,且滿足對任意的,(不一定互異), 均有 ,就稱是"框框集合".
求任意"框框集合"中可能存在的實數的最小值.

5.求所有非負整數組((a, b, c)), 使得

6.設為(wei) 正整數. 凸多邊形 既有內(nei) 切圓也有外接圓, 我們(men) 稱之為(wei) 雙心多邊形. 對任意正整數, 設 (即下標按模n處理). 對任意,設為(wei) 射線 與(yu) 的交點. 設為(wei) 外接圓.

求證: 對存在一個(ge) 圓, 與(yu) 所有這個(ge) 均相切.(其中 )