2022年中國台灣數學奧林匹克的試題

今天先給大家推送2022年中國台灣數學奧林匹克的試題。

1. 設正整數，，滿足．若， ， ，
   且，
   求證：為完全平方數．
2. 本題選自2021年IMO預選題，將於2022年IMO舉辦之後公開
3. 求所有函數，：，滿足對任意實數，，，，都有
4. 兩個嬰兒和用瓶牛奶進行一個遊戲．每個奶瓶的最大容量為，最初每個奶瓶中裝有的牛奶．從開始，兩人輪流執行以下操作之一：
   (1)選擇一瓶至少的牛奶，喝掉一半；
   (2)選擇兩瓶少於的牛奶，將其中一瓶中的牛奶倒入另一個奶瓶中，並將空瓶丟掉．
   無法進行任何操作者輸掉遊戲．問：誰有必勝策略？
   （命題人注：本題的另一個版本是，最初有個奶瓶中裝有的牛奶，另外個奶瓶中裝有的牛奶．兩個問題的解決方案截然不同．
   因此，一個有趣的問題是：在給定任意初始狀態的情況下，確定具有獲勝策略的人．這似乎是一個非常困難的問題，我們會對朝著這個方向取得的任何進展感興趣．）
5. 在銳角三角形中，為點所對的旁心．設，為外接圓上的兩點，且滿足．上一點滿足和的外接圓相切．的外接圓上一點滿足和平行．求證：