2018年英國物理奧賽BPhO Question5 d/e 題解析

今天我們(men) 來做一下 2018年BPhO Section 2 第 5 大題的最後兩(liang) 個(ge) 小問，分值合計 10 分。按理說出題者會(hui) 把最難的題放在最後兩(liang) 個(ge) 小問，這兩(liang) 道無限電路的題也著實別出心裁，在常規考試中基本見不到，需要用到特殊的小技巧來把它們(men) 解決(jue) 。下麵看題吧：

d) The following network shown in Figure 9 is infinite.  Find an expression for the resistance between A and B in as simple a form as possible, and determine the resistance when r1 = 4 Ω and r2 = 15 Ω.  Hint: consider adding new resistors r1 and r2 at the left end of the circuit shown.
(4)

e) The network shown in Figure 10 consists of an infinite number of cells of e.m.f. ε1 and ε2 with corresponding internal resistances R1 and R2 respectively.  A resistor R of value R = 1.0 Ω, is connected to the end of the series.  If the values of the e.m.f.s and resistances are ε1 = 1.0 V, ε2 = 2.0 V, R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω, determine the value of the current flowing through resistor R.
(6)

答案解析：
先分析 d) 問，如下圖，電路很複雜、說不清到底是串聯還是並聯，要我們(men) 求 A、B 兩(liang) 點間的總電阻 RAB。

題中給出的 “Hint” 就很關(guan) 鍵！這個(ge) 電路是由無限個(ge) 電阻 r1 和 r2 連接起來的，“Hint” 中讓我們(men) 在電路左側(ce) 再添加一對兒(er) r1 和 r2 。可能一下看不出來它什麽(me) 用意，我們(men) 就按照題目中所說的來做，假設上圖電路中的總電阻是 RAB，在其左側(ce) 再添加一對兒(er) r1 和 r2  作圖有：

圖中的電阻 r2 和 RAB 並聯，然後與(yu) r1 串聯。三個(ge) 電阻接在 C、D 兩(liang) 個(ge) 接頭處，那麽(me) 兩(liang) 個(ge) 接頭間的總電阻 RCD 就有：

接下來的思考邏輯將變得有意思、非常微妙。由於(yu) 這個(ge) 電路是個(ge) 無限電路，那麽(me) 在左側(ce) 多添加一對兒(er) 、或少添加一對兒(er) r1 和 r2 將不會(hui) 改變總電阻，因此接頭 C、D 間的總電阻應等於(yu) 接頭 A、B 間的總電阻，有 RCD = RAB。
如果沒聽懂，我再說一遍其中的邏輯：因為(wei) 題目中的電路是由無限對兒(er) r1 和 r2 組合而成，那麽(me) 在電路左側(ce) 多一對兒(er) r1 和 r2 並不會(hui) 改變電路的總電阻。 C、D 間比 A、B間就多出那麽(me) 一對兒(er) r1 和 r2，對於(yu) 無限電路來說微乎其微，有這一對兒(er) 、沒這一對兒(er) 都不影響總電阻，所以 RCD = RAB。代入上式、並計算就能解得  RAB 的表達式：

上式是一個(ge) 關(guan) 於(yu)  RAB 的一元二次方程，用數學中的求根公式即可求出 RAB：

兩(liang) 個(ge) 根中有一個(ge) 為(wei) 負，但我們(men) 遇到的是物理問題，電阻阻值不能為(wei) 負數，所以去掉負根，保留正根有：

再將題目已知 r1 = 4 Ω、r2 = 15 Ω 代入上式即可求出無限電路的總阻值：

再來分析 e)，如下圖，也是個(ge) 無限電路，紅框框出了這個(ge) 電路的重複單元。由於(yu) 有無限多個(ge) 類似紅框中的單元，所以多一個(ge) 、或少一個(ge) 這種單元都不影響電路中的電流。那麽(me) 如果我們(men) 把下圖中紅框右側(ce) 的單元移除，使紅框中的單元直接和電阻 R 並聯，流經 ε2 和 R2 的電流將不會(hui) 發生變化。由此，我們(men) 得到了一個(ge) 非常重要的信息，即下圖中流經  ε2 和 R2 支路的電流都相同，可設為(wei) I2。

根據上述分析，我們(men) 可以單獨拿出上圖中的右側(ce) 部分做基爾霍夫定律的分析，如下圖：

上圖中已標好經過電阻 R 的電流 I 的方向，和經過ε2 和 R2 支路的電流 I2 的方向。那麽(me) 根據基爾霍夫定律中的 Junction Rule，不難推斷經過 ε1 和 R1 支路的電流為(wei) I - I2 ，方向如上圖，和經過 F 和 D 節點間導線的電流  I - I2 。
標好電流後，發現隻有 I 和 I2 兩(liang) 個(ge) 未知數，那麽(me) 就要再列兩(liang) 個(ge) 方程。所以下麵通過基爾霍夫定律的 Loop Rule 在圖中找兩(liang) 個(ge) Loop 來列方程。
先看 Loop ABCDA，沿逆時針走一圈回到 A 點後，電勢的總變化為(wei) 0，所以列式、並代入已知數據可整理出第一個(ge) 方程：

同理，再根據上圖找出第二個(ge) Loop，比如 Loop ABCEFDA，逆時針繞個(ge) 大圈以後還是回到 A 點，電勢的總變化為(wei) 0，列式並代數化簡有：

現在有兩(liang) 個(ge) 未知數、兩(liang) 個(ge) 公式，求出電流 I 並非難事，可先將上述 (2) 式兩(liang) 端同時乘以 3，有：

繼而用 (1) 式 減去 (3) 式，消掉電流 I2，即可求出 I：

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