本題是 BPhO 2019 年 Section 1 中的一道關(guan) 於(yu) 相對運動的題，分值 7 分，可謂是 Section 1 中簡答題最高分值了。難度也並不容易，涉及到了相對運動以及向量運算的知識。
相對運動的公式有：
即物體(ti) A 相對於(yu) 物體(ti) C 的速度 v A/C，等於(yu) A 相對於(yu) B 的速度 v A/B 加上 B 相對於(yu) C 的速度 v B/C。這裏的相加指的是矢量之間的相加。
還要知道矢量的數學表示方法，比如下圖中的 v1 和 v2：
我們(men) 把 v1 和 v2 分解到 x 和 y 的方向上，用 v1 和 v2 表示兩(liang) 個(ge) 速度的大小，那麽(me) 它們(men) 在這兩(liang) 個(ge) 方向上速度分量的大小就是：
由於(yu) 速度是矢量，隻表示大小還不行，還需要表示出它們(men) 的方向。我們(men) 用 
分別表示方向沿 x 和 y 軸正向的單位向量。所謂單位向量，就是長度 (或大小) 為(wei) 1 的向量。那麽(me) 把上述速度分量表示成矢量的形式就有：
注意上式中 v2 的負號是因為(wei) 它沿水平和豎直方向的分量都指向負軸。
有了速度分量的表達式，那麽(me) 兩(liang) 個(ge) 速度的表達式就是：
兩(liang) 個(ge) 速度相加是矢量相加，所以需要做的是把 
前麵的係數分別相加，這一點不要弄混，如下：
以上就是本題涉及到的一些背景知識，下麵來做題吧！
h) This question concerns three vessels at sea: a ferry (F), a container ship (C), and a pilot boat (P). The ferry is sailing on a bearing of 
at 
. Relative to the ferry, the container ship is sailing on a bearing of 
. The pilot boat is sailing on a bearing of 
at 
, and the pilot boat observes the container ship moving on a bearing of 
.
Determine the speed and direction of the container ship relative to the water.
Note: all bearings are measured clockwise from North.
[7]
答案解析：
題目中的第一個(ge) 已知告訴我們(men) ferry 速度的 bearing 是 90 度，由於(yu) bearing 指的是與(yu) 正北方向順時針的夾角，所以 ferry 相對於(yu) water 的速度 v F/W 方向向東(dong) ，大小是 5 m/s。又知道 container ship 相對於(yu) ferry 速度 v C/F 的 bearing 是 160 度，將這兩(liang) 個(ge) 速度作圖如下：
上圖中 ferry 相對於(yu) water 的速度 v F/W 隻有 x 方向的分量、大小為(wei) 5 m/s，所以可以表示為(wei) ：
圖中 container ship 相對於(yu) ferry 速度 v C/F 既有水平 x 方向的分量、又有豎直 y 方向的分量，所以要將 v C/F 分解到水平和豎直方向上。如果假設這個(ge) 速度的大小為(wei) v C/F，那麽(me) 水平分量向右（x 軸正方向）、大小為(wei) 
；豎直分量向下（y 軸負方向），大小為(wei) 
。v C/F 的向量表達式就可寫(xie) 為(wei) ：
有了 container ship 相對於(yu) ferry 速度 v C/F ，和 ferry 相對於(yu) water 的速度 v F/W ，那麽(me) 根據相對運動的公式 container ship 相對於(yu) water 的速度 v C/W 就是：
我們(men) 也可由上圖作出 container ship 相對於(yu) water 的速度矢量 v C/W 如下：
接下來分析第二個(ge) 已知，即 pilot boat 相對於(yu) water 的速度 v P/W 方向是正西 (bearing，270度)，大小 7.5 m/s。而 container ship 相對於(yu) pilot boat 的速度 v C/P 方向是 120 度的 bearing。根據這些已知作圖如下：
同樣用 
的形式將上圖中的兩(liang) 個(ge) 速度矢量表示出來有：
根據相對運動的公式，container ship 相對於(yu) pilot boat 的速度 v C/P 加上 pilot boat 相對於(yu) water 的速度 v P/W ，即是 container ship 相對於(yu) water 的速度 v C/W ，所以有：
上述 v C/W 公式是站在 pilot boat 的角度上得出的，之前我們(men) 站在 ferry 上也得出了一個(ge) v C/W（也用橘黃色方框框出了），這兩(liang) 個(ge) 速度本質上是同一個(ge) ，所以可列等式：
等式兩(liang) 邊相等，說明等式兩(liang) 側(ce) 
前麵的係數和 前麵的係數也相等，可列方程求出 v C/P 或 v C/F 的值：
根據 (2) 式有：
代入 (1) 式、並計算：
將此結果代入到前述方框中 v C/W 的表達式中，即為(wei) container ship 相對於(yu) water 的速度：
這個(ge) 矢量表達式呈現在圖中就是：
所以 v C/W 的大小即為(wei) 斜邊長度：
v C/W 的方向與(yu) 上圖中的角 θ 有關(guan) ：
那麽(me) v C/W 矢量與(yu) y 軸正向的夾角 (bearing) 就是 48 + 90 = 138 度。
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