BPhO Section2 的每道大題有幾個(ge) 小問，各個(ge) 小問之間沒有關(guan) 聯。即使 a 小問做不出來，也可以跳過它，嚐試後麵的 b 小問。這裏的 b 小問難度較大，如果能自己做出來就牛了：
b) (i) A particle of mass m is suspended by a thin elastic string of natural length a in which a tension mg would produce an extension a. Write down an expression for the period of oscillation of mass in terms of a and g.
(ii) Two particles of equal mass m on a smooth horizontal table are connected by the same thin elastic string of natural length a. The particles are held at rest at a distance 3a apart.
i. Describe their motions between the time they are released and when they collide.
ii. If the particles are released simultaneously, calculate the time elapsed before they collide, given a = 0.20 m.
答案解析：
b) (i) 小問闡述了一個(ge) 質點掛在細彈性繩上的情況。繩的原長為(wei) a，質點的重力 mg 使繩再伸長 a 的距離，求質點在繩上振動的周期。大致情形如下圖所示：
這道題的關(guan) 鍵在於(yu) thin elastic string，thin 暗示了不計繩的質量，而 elastic 表明類似於(yu) 彈簧，繩上的張力 T 和偏離平衡位置的位移 x 存在簡單的正比關(guan) 係，即：
上式中的負號代表繩中張力的方向與(yu) 位移方向相反。
上圖中掛上小球後，小球重力使彈性繩向下拉伸了位移 x = a，到了新的平衡位置 O’，靜止時重力 mg 和繩的張力 T 剛好大小相等，可列式：
上式推導過程中，我們(men) 用到 T = -kx，但忽略了其中的負號，因為(wei) 是力的大小的相等，不需考慮力的方向。k 求出來，繩中的張力公式就有了：
這道題讓求質點（或認為(wei) 圖中小球）在繩上振動的周期，我們(men) 先要清楚它是怎麽(me) 振動的？平衡位置在哪兒(er) ？
所謂平衡位置是指小球合外力為(wei) 0 處，即上圖中的 O’ 點；要明確振動的平衡位置不是繩的自然長度，即上圖的 O 處，因為(wei) 在這點小球合力不為(wei) 0. 所以小球是在平衡位置 O’ 上下往複振動的。
接下來要明確這個(ge) 振動是不是簡諧振動？ 簡諧振動的最重要的條件是：
In a simple harmonic motion (SHM), the acceleration of oscillating particle is proportional and opposite to its displacement.
小球在上下振動中受豎直向下的重力 mg，和向上的彈簧彈力 T，設豎直向下方向為(wei) 正。當小球拉離平衡位置 O’ 點的距離為(wei) x 時，彈簧總伸長為(wei) x+a，那麽(me) 作用在小球上的合外力 Fnet:
再根據牛頓第二定律就能找到 a 和 x 的關(guan) 係了：
注意上式中等式左右的兩(liang) 個(ge) a 是不一樣的，等式左邊的 a 代表加速度 acceleration，單位是 
；而右邊的 a 是題目中給的已知長度，單位是 m，這兩(liang) 個(ge) a 不要混淆。
上式右側(ce) 的 g 和 a 都是常數，可見加速度 a 和位移 x 滿足正比、反向的關(guan) 係，這是個(ge) 簡諧運動，繼而可套用 BPhO 公式表中提供的簡諧運動公式：
就有：
角速度 ω 算出來了，周期 T 迎刃而解：
b) (ii) 小問和 (i) 小問的相同點是彈性繩沒有變，不同是將兩(liang) 個(ge) 質量同為(wei) m 的質點用原長為(wei) a 的繩連接，並把繩水平抻長到 3a 的長度，如下圖：
繩長為(wei) 3a 時繩明顯是張緊的，在這個(ge) 狀態下由靜止釋放兩(liang) 個(ge) 質點（或認為(wei) 是小球），繩子肯定要收縮，最終兩(liang) 個(ge) 質點撞到一起。
具體(ti) 來看，兩(liang) 個(ge) 小球先是在繩張力的作用下，加速靠攏，又由於(yu) 兩(liang) 小球對稱，所以兩(liang) 者速度大小始終相等；在繩收縮的過程中，繩給小球的力是越來越小的，所以加速度大小在不斷減小；直到繩恢複到原長 a 以後，不再給兩(liang) 小球任何力，這時小球會(hui) 由於(yu) 慣性，做勻速直線運動，最終撞上。用英文來闡述：
The particles move towards each other with equal speeds;
The particles accelerates towards each other, and the acceleration decreases with time;
At a separation of a (the natural length of the string), the particles move with constant speed.
第二問已知 a = 0.20 m，問從(cong) 由靜止釋放到兩(liang) 小球碰撞所用的總時間。
為(wei) 了簡化問題，由於(yu) 兩(liang) 小球的運動完全對稱、是鏡像的，我們(men) 隻需研究其中一個(ge) 小球，也就是隻看下圖中的右側(ce) 一半，小球從(cong) (3/2)a 處釋放，一直運動到繩中點 A 點的過程；
小球在整個(ge) 過程中有兩(liang) 種運動：首先是在彈性繩彈力作用下作簡諧運動 (SHM)，然後當繩收縮到原長 a，即下圖小球距離 A 點 (1/2)a 以後，繩鬆弛了，小球不再受到繩的張力，隨後做勻速直線運動。
這裏要注意的一點：當我們(men) 研究一半長度的繩時，繩的勁度(或彈性)係數 k 發生變化。雖然在上一問中求出了 k = mg / a，但這是整根繩的勁度係數 k。現在研究的是半根繩，即使同樣的材料，如果繩（或彈簧）的長度不同，勁度係數也不一樣。這裏我們(men) 就要用到彈簧的串、並聯公式，若兩(liang) 個(ge) 勁度係數分別為(wei) k1、k2 的彈簧串聯，如下圖：
那麽(me) 整體(ti) 的勁度係數 k：
彈簧的串聯公式和電阻的並聯很相似。
若兩(liang) 個(ge) 勁度係數分別為(wei) k1、k2 的彈簧並聯，如下圖所示：
那麽(me) 整體(ti) 的勁度(或彈性)係數 k：
彈簧的並聯公式和電阻的串聯很相似。
在這道題中，我們(men) 知道長度為(wei) a 的繩彈性係數是 k = mg / a，現在要求長度為(wei) 原來一半時繩的彈性係數。那麽(me) 可以把原繩當做兩(liang) 個(ge) 彈性係數為(wei) k’ 的繩串聯，如下圖：
根據彈簧串聯公式有：
這就是半根繩的彈性係數。
下麵先研究一個(ge) 右側(ce) 小球從(cong) 距上圖 A 點 (3/2)a 到 (1/2)a 的簡諧運動所需時間。我們(men) 知道而 (3/2)a 為(wei) 小球釋放的位置，即最大振幅處； (1/2)a 為(wei) 彈性繩原長處，此位置小球水平方向受力為(wei) 0，為(wei) 平衡位置。所以該振動的振幅 Amplitude = (3/2)a - (1/2)a = a。
小球由最大振幅處到平衡位置的簡諧運動，相當於(yu) 完成了四分之一個(ge) 完整振動，所需時間 t1 也即四分之一個(ge) 周期。BPhO 公式表給出了彈簧簡諧運動的周期表達式：
這裏研究的是半根彈性繩，彈性係數 k’ 代入上式得：
小球從(cong) 最大振幅到平衡位置所需時間 t1 即四分之一個(ge) 周期：
第二個(ge) 過程是小球從(cong) 上圖距離中心 A 點 (1/2)a 處一直運動到 A 點的過程。很簡單，是個(ge) 勻速直線運動，距離 s2 = (1/2)a，隻要知道初始速度，就可求出時間。
而初始速度需要通過上一段的簡諧運動來求，比較簡單的方法是通過能量轉換公式，繩的彈性勢能轉換為(wei) 小球的動能。由於(yu) 是簡諧運動，所以彈性勢能：
式中的 k 同樣是半根繩的彈性係數。那麽(me) 小球在最大振幅處 (x = amplitude = a) 的彈性勢能完全轉化為(wei) 小球平衡位置處的動能，有：
所以第二段勻速直線運動的時間 t2 ：
兩(liang) 段運動的總時間 t：
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