之前介紹了楊氏模量 (Young's modulus) 的概念，這次我們(men) 來做一下關(guan) 於(yu) 楊氏模量的 BPhO 競賽題，這是 Section2 的其中一問，難度比較大。不看答案，自己能不能做出來？
A piece of elastic cord of length 
and cross-sectional area A is stretched to twice its natural length. Assuming that the total volume remains constant, and that cross-sectional area is uniform along its length, and the Young's modulus E for the material remains constant,
(i) obtain an expression for the final tension in terms of E and A.
(ii) Show that the work done in stretching the elastic is given by:
答案解析：
(i) 題目中說把彈力繩 (elastic cord) 抻長為(wei) 原長的 2 倍，同時體(ti) 積不能變，橫截麵積保持一致，先做個(ge) 圖：
上圖為(wei) 彈性繩在力的作用下被抻長為(wei) 原長的 2 倍，此過程體(ti) 積不變，所以：
被抻長後，彈性繩的橫截麵積 A' 變為(wei) 原來的二分之一。
目前彈性繩形變情況已知，要求受力情況，把形變和受力聯結起來的物理量是楊氏模量，所以根據定義(yi) 展開楊氏模量：
當彈性繩被抻長到 
時，上式中的 F 即是我們(men) 要求的 final tension，此時彈性繩的橫截麵積是 A' = A / 2，伸長量 
，原長還是 
，代入上式有：
即為(wei) 本題答案。
(ii) 小問中需求拉伸彈性繩的過程中外力所做的功。彈性繩越長、彈力越大，又因為(wei) 外力等於(yu) 彈力，所以外力 F 也是一個(ge) 逐漸增大的變力。如果力是定值，且和位移在同一方向上，那麽(me) 做功公式是：W = F s；本題中是變力做功，需要用到積分公式，即：
為(wei) 了展開積分公式中的 F，我們(men) 接下來要找到力 F 與(yu) 向右的位移 x 的關(guan) 係，作圖更加直觀：
由於(yu) 都是將彈性繩拉長
，兩(liang) 個(ge) 力在兩(liang) 端拉、和隻有一端的力拉所做的功是一樣的。為(wei) 了簡化問題，我們(men) 索性把彈性繩左端固定在牆壁上，隻研究彈性繩右側(ce) 力 F(x) 將彈性繩拉伸 
所做的功。如上圖，以彈性繩右端點為(wei) 原點，向右作 x 軸，以此來研究力 F(x) 隨位移 x 的變化。
假設力 F(x) 將彈性繩抻長任意距離 x，如下圖綠線所示：
此時，彈性繩長度變為(wei) 
，但整個(ge) 過程中體(ti) 積不變，所以新的橫截麵積 A’ 就是：
橫截麵積有了，我們(men) 還是像上一個(ge) 小問一樣，把楊氏模量按其定義(yi) 展開：
當彈性繩伸長 x 以後，上式中的長度變化 
即為(wei) x，橫截麵積 A 為(wei) A'，代入上式有：
由此找到了力 F 隨形變量 x 變化的通式。不妨驗證一下：將 
代入上式，得出的 F 與(yu) 第 1 小問結果相符，具有一致性。
下麵將 F(x) 代入變力做功的積分公式，進行數學計算後即為(wei) 本題答案。注意積分的下限是彈性繩起始狀態、不受力，有 
；積分上限對應末狀態，即 
：
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