本題是 2018 年英國物理奧賽 (BPhO) Section1 部分的 (f) 題。Section1 部分有十多道、將近二十道題，每道題的難度不算太大，考查的知識點也各異。由於(yu) 不需要把所有題都做完，那麽(me) 在規定的1小時20分鍾內(nei) ，你盡量先挑著相對簡單一點兒(er) 的題做，如果還有時間，再挑戰難一些、知識點不是那麽(me) 熟悉的題。
f) A neutron moving through heavy water strikes an isolated and stationary deuteron (the nucleus of an isotope of hydrogen) head-on in an elastic collision.
(i) Assuming the mass of the neutron is equal to half that of the deuteron, find the ratio of the final speed of the deuteron to the initial speed of the neutron.
(ii) What percentage of the initial kinetic energy is transferred to the deuteron?
(iii) How many such collisions would be needed to slow the neutron down from 10 MeV to 0.01 eV?
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答案解析：
題目說一個(ge) 有初速度的中子 (neutron) 與(yu) 靜止的氘核 (deuteron) 發生彈性碰撞 (elastic collision)。我們(men) 知道無論是彈性還是非彈性碰撞，碰撞過程中係統的動量都是守恒的。但對於(yu) 彈性碰撞來說，碰撞前後不隻兩(liang) 個(ge) 粒子的總動量守恒，總動能也守恒，即碰撞過程中沒有任何能量損失。
這道題雖然沒有考察氘核的概念，但既然提到了氘核，我們(men) 就簡單介紹一下。氘原子 (deuterium) 是氫原子的同位素，氫原子的原子核是一個(ge) 質子 (proton)、核外有一個(ge) 電子 (electron)，而氘原子的原子核內(nei) 多了一個(ge) 中子 (neutron)，如下圖所示：
上圖中的 "p" 表示 proton (質子)、"n" 表示 neutron (中子)、"e" 表示 electron (電子)。題目中所說的 deuteron 就是氘原子的原子核，簡稱 “氘核”，僅(jin) 由一個(ge) 質子和一個(ge) 中子組成，不包括核外電子。"deuteron" 這個(ge) 單詞很有意思，因為(wei) 《聖經》中最著名的摩西五經中的一卷經書(shu) 名字便是 Deuteronomy，翻譯成中文叫做 “申命記”，是被猶太人、基督徒等反複閱讀、甚至背誦的經文。
言歸正傳(chuan) ，本題的第 (i) 小問說中子 (neutron) 質量是氘核 (deteron) 質量的二分之一。如果有上述背景知識，由於(yu) 氘核包含一個(ge) 質子和一個(ge) 中子，而且質子和中子的質量又差不多，不用說也應該知道一個(ge) 氘核的質量是中子質量的二倍。我們(men) 不妨設中子質量為(wei) m，那麽(me) 氘核質量就是 2m。
如上圖所示，彈性碰撞前，氘核不動，中子運動。假設中子初速度為(wei) u，那麽(me) 碰前兩(liang) 個(ge) 粒子的總動量和總動能就是中子的動量和動能，有：
碰撞後的情形如下圖所示：
圖中的中子和氘核的碰後速度分別設為(wei) vn 和 vd，氘核速度方向肯定向右，設“向右為(wei) 正方向、向左為(wei) 負”。中子的碰後速度方向我們(men) 暫時不知道，假設向右，如果結果為(wei) 負值，就代表速度向左。由此可列出碰撞後兩(liang) 個(ge) 粒子的總動量和總動能：
由於(yu) 是彈性碰撞，所以碰撞前後兩(liang) 個(ge) 粒子的總動量、總動能都守恒，就有：
將上述展開式代入以上方程，展開、並化簡得：
第 (i) 小問的問題是氘核末速度與(yu) 中子初速度的比值關(guan) 係，即 vd / u。於(yu) 是我們(men) 要將兩(liang) 式中的 vn 消掉，找到 vd / u 的比例關(guan) 係。根據 (1) 式有：
將其代入到 (2) 式中、並化簡：
即為(wei) (i) 小問答案。
第 (ii) 小問問在碰撞過程中，neutron 的初始動能有百分之多少傳(chuan) 給了 deuteron，我們(men) 隻需將二者動能做個(ge) 比例關(guan) 係：
上一問中求出了 vd / u = 2 / 3，代入上式即是答案：
第 (iii) 小問說一個(ge) neutron 如果從(cong) 10 MeV 的動能降到隻有 0.01 eV 需要多少次彈性碰撞？
其實在上一問中已經求得經曆一次碰撞，neutron 會(hui) 將 8/9 的動能都傳(chuan) 給 deuteron，又由於(yu) 彈性碰撞沒有能量損失，所以剩下的 1/9 的動能留給自己。也就是說，每次碰撞會(hui) 使 neutron 的動能減少為(wei) 碰撞前的 1/9。那麽(me) 初始動能Ek0 是 10 MeV，我們(men) 假設經曆 n 次碰撞後動能 Ek,neutron 降到 0.01 eV，關(guan) 於(yu) 碰撞次數 n 應有如下等式：
兩(liang) 邊同取以 10 為(wei) 底的 log 即可求出碰撞次數 n ：
注意這裏不能用四舍五入，因為(wei) 9 次彈性碰撞不能使 neutron 動能下降到 0.01 eV，所以至少需要 10 次彈性碰撞。
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