2019年英國物理奧賽BPhO Section2 Question3e題解析

BPhO Section2 的 Question 3 一般都是以“力和運動” 為(wei) 主題的大題，所以對“力和運動”這部分知識比較熟悉的學生首先要關(guan) 注一下 Section 2 的 Question 3。
本題是 2019 年 Question 3 的最後一個(ge) 小問（e 小問），分值是 7 分，主要是關(guan) 於(yu) 勢能與(yu) 動能之間的轉換。把題目理解透以後 (i)、(ii)、(iii) 小問都不難，盡量自己做出來。

e) A student has an even more unusual idea for a fun-fair ride.  This can be modelled as two bars (A and B) each of mass M separated by two springs of negligible mass, each of spring constant k and unstretched length l.  The springs are lightly damped to stop vibrations.  This is similar to the example shown in Figure 8.  The lower bar A is initially at a height of h above the ground.  The ride is then released from rest and falls freely under gravity.

(i) Find an expression for the speed of the bars immediately before they hit the ground.
(ii) Bar A strikes the ground and is brought to rest almost instantaneously, its kinetic energy all being transferred to heat and sound.  Determine the total energy of the system, E, in terms of the subsequent maximum compression of the springs xm, and gravitaitonal potential energy.
After this, the springs extend again, and then at some moment bar A lifts off the ground.
(iii) By considering the forces acting on A determine the extension xe, of the springs at the instant A leaves the ground.
(iv) Hence, using energy considerations, deduce an expression for the condition the initial height h must satisfy in order for A to leave the ground.
(7)

答案解析：
(i) 小問問落地前的瞬時速度，我們(men) 知道了 ride 距地麵的高度 h，那麽(me) 從(cong) 這個(ge) 高度釋放、到落地的過程就是自由落體(ti) 。既可以利用勻加速直線運動的公式去求，也可以利用能量守恒去算出落地點的速度。從(cong) 能量守恒的角度來看，不計空氣阻力，這是個(ge) 重力勢能 Ep 完全轉化為(wei) 動能 Ek 的過程，有：
即為(wei) 第 (i) 小問答案，一個(ge) 公式搞定、比較簡單。

如上圖，(ii) 小問說 bar A 自由落體(ti) 撞到地麵時，瞬間靜止、動能為(wei) 零，全部轉化為(wei) 了熱能和聲能，損失掉了。但此時 bar B 還被彈簧支撐在空中，且有速度。所以 bar B 將繼續壓縮彈簧，直至速度減為(wei) 0，動能完全轉化為(wei) 兩(liang) 個(ge) 彈簧的彈性勢能。

(ii) 小問讓求係統的總能量 E，分別用兩(liang) 彈簧被壓縮的距離 xm，和重力勢能來表式。因為(wei) 沒有明確重力勢能零點，其實這一問問得有些模糊。

先分析兩(liang) 彈簧的彈性勢能，由於(yu) bar A 的動能因為(wei) 撞擊地麵完全損失，所以分析 bar A 沒有意義(yi) ，我們(men) 專(zhuan) 注於(yu) bar B。bar B 將其所有的能量都轉化為(wei) 了兩(liang) 彈簧的彈性勢能。所以當兩(liang) 彈簧被壓縮至極限時，整個(ge) 係統的總能量都存在了兩(liang) 個(ge) 彈簧的彈性勢能裏，有：

把思路想通以後，列公式是比較簡單的。
再從(cong) 重力勢能的角度看，對於(yu) bar B 來說，它的所有能量源頭都是一開始具有的重力勢能。這個(ge) 重力勢能先轉化為(wei) 了動能，使 bar B 加速下落；之後它繼續向下運動、壓縮兩(liang) 個(ge) 彈簧，使動能和重力勢能又都轉化為(wei) 了彈性勢能。所以 bar B 從(cong) 起始點到壓縮彈簧至最低點所擁有的重力勢能差，即為(wei) bar B 在整個(ge) 運動過程中擁有的所有能量，也是整個(ge) 係統的能量，有：
當然，bar B 的重力勢能最終轉化為(wei) 了兩(liang) 彈簧的彈性勢能，所以也有：
以上三個(ge) 公式即為(wei) (ii) 小問答案。
(iii) 小問很有意思，說兩(liang) 彈簧被壓縮至極限後，彈性勢能逐漸釋放，還會(hui) 恢複原長，並由於(yu) 慣性、繼續伸長。伸長到一定程度後，會(hui) 把下麵的 bar A 提起來，我們(men) 來分析一下此瞬時 bar A 的受力情況：
在兩(liang) 彈簧提起 bar A 的瞬間，應有兩(liang) 彈簧的彈力之和等於(yu) bar A 自身的重力。如果每個(ge) 彈簧的伸長量是 xe，那麽(me) 每個(ge) 彈簧的彈力大小就是 Fs = k xe。繼而列 bar A的力的平衡等式有：
即為(wei) (iii) 小問答案。

第 (iv) 問說從(cong) 能量的角度來思考，若想使 bar A 脫離地麵，那麽(me) 一開始 bar A 距離地麵的高度 h 應為(wei) 多少？
本問需要基於(yu) (iii) 小問的結果來分析。第 (iii) 小問描述了 A 剛要脫離地麵的情形，此時兩(liang) 彈簧不僅(jin) 恢複原長，還繼續伸長了 xe，如下圖：
我們(men) 分析一下此時係統的總能量，以地麵為(wei) 重力勢能零點，那麽(me) bar A 的重力勢能為(wei) 0。由上圖可見，bar B 距地麵高度為(wei) l + xe，重力勢能就是 Mg (l + xe)。兩(liang) 彈簧均伸長了 xe，那麽(me) 彈性勢能也不難表示。所以此時整個(ge) 係統的總能量為(wei) ：
將第 (iii) 問中算出的 xe 的表達式代入上式、並化簡有：

上式中的能量 E 即是 bar A 將將能被提起來時係統所需最小能量。所以要保證 bar A 能被提起來，我們(men) 要使初始狀態係統的能量 E0 大於(yu) 等於(yu) 這個(ge) 能量 E。分析初始狀態，如下圖所示：

bar A 距離地麵高度 h，bar B 距離地麵高度為(wei)  h + l 。但 bar A 的重力勢能最終都撞到地麵損失掉了，所以初始態整個(ge) 係統真正有用的能量 E0 是 bar B 的重力勢能，有：

如果係統初始能量 E0 大於(yu) 等於(yu) 前麵推出的 E，那麽(me) bar A 就會(hui) 被提起來，所以有：

即為(wei) 本題答案。

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