2022年IMO中國國家隊選拔（CTST）第一次測試分析與解答

2022年CTST第一輪測試(一)試題及解答

這兩(liang) 周進行了集訓隊一階段考試，盡管筆者太菜沒資格參加，但也在第一時間做了考題，現在本文將給出第一次測試的解答，至於(yu) 第二次的解答，應該也會(hui) 在這兩(liang) 天盡快更新。

在解答中，筆者做出來的題目，大多寫(xie) 有思路分析和批注，給出的基本是自己的原始解法，和標答及其他解法或許是大同小異，部分解答也會(hui) 據此優(you) 化改良。其餘(yu) 的題目這裏便隻放出標準答案。鑒於(yu) 筆者水平有限，不當之處還望讀者海涵並不吝賜教！（大佬可以直接關(guan) 閉頁麵了）

1、試題

2022年CTST第一輪 測試(一)

以下即將進入解答部分

2、解答

2022年CTST第一輪 測試(一)

 分析：此題過於(yu) 簡單，甚至是一道在網上出現過的陳題，圓內(nei) 接六邊形一出現，條件反射式地反饋出Pascal定理，而後不難發現平行，計算比例線段即可. 另有一個(ge) 純導角的位似證法，本質上就是照抄了一下Pascal的純幾何證明，詳見圖二.

解答：

位似證法：

分析：在某個(ge) 任給的無窮集中討論數論問題，常用的一個(ge) 性質是：模任意一個(ge) 正整數，都必有其某個(ge) 剩餘(yu) 類在集合中出現無窮多次，在本問題中亦用到這一性質. 首先的一個(ge) 自然想法是：如果能挑出子集B，使得B 中任意P個(ge) 數的和都不是p 的倍數就好了，這樣取完算數平均值直接就不是整數了，自然不在A 中.有了這個(ge) 想法，我們(men) 再結合開始提到的性質，會(hui) 發現如果模p的剩餘(yu) 類中有兩(liang) 個(ge) 都在A中出現無窮多次，就可以解決(jue) 問題. 而後討論隻有一個(ge) 類出現無窮多次的情形，用帶餘(yu) 除法表示後，其實可不妨同時減掉餘(yu) 數，再除以p 考慮，而這就相當於(yu) 模p² , 於(yu) 是想要在反證的假設下，歸納證明模任意p 的冪都隻有一個(ge) 剩餘(yu) 類出現無窮多次，而後根據這一斷言進行構造和說理即可. 此題沒有本質難度，但說理略有些繁瑣，部分過程可以優(you) 化(比如將前麵提到的歸納法改成反證法，取最小的反例導出矛盾)，這樣便可縮短證明長度.

證明：假設結論不成立，也即不存在這樣的集合.
我們(men) 可先不妨假設 中有無窮多個(ge) 正整數，否則全部取相反數即可. 且我們(men) 刪去 中所有的負數，將其變為(wei) 正整數集，證明此時仍然可舉(ju) 出反例，進而導出矛盾.

一道屠場題，貌似沒聽說有人在考場上做出來. 賦權得到界是自然的，而後的證明則是極為(wei) 困難. 由於(yu) 筆者能力有限，這裏就不做解釋了，直接貼標答吧.

第一個(ge) 難點大概在於(yu) 作出標準圖，這裏先給出一個(ge) 標準圖作法.

其實添出弧AB中點S還算是比較自然的，不過筆者一開始確實沒有想到，而是根據邊相等的條件先取出了弧BAC中點M，繞了一圈才回來. 思考過程如下:

圖中提到的性質，讀者自證不難.

可以先取出滿足取到最大值的一組複數，然後根據最大性刻畫取等，再回過頭來計算最值，最後也能得到答案，不過感覺不算很嚴(yan) 謹，也懶得寫(xie) 了，這裏還是給出標答