由AMC12題目理解多項式根的分布與控製係統穩定性

2021年秋季AMC12B有這麽(me) 一個(ge) 題目：

這個(ge) 題目解答方法甚多，既可以直接分離實部與(yu) 虛部，利用三角運算得到答案，也可以利用複數性質，將問題轉化為(wei) 考察多項式是否存在模長為(wei) 1的複數根，解答細節在這裏就不再贅述。

多項式根的分布是AMC等競賽的一個(ge) 命題方向，通過韋達定理、介值定理、單調性分析、不等式估計等手段能在不直接求根的情況下得到根的大致分布，這些手段也是利用初等數學研究多項式根的分布的典型範例。

數學作為(wei) 一門基礎性學科，在工程領域得到了廣泛應用，而控製理論則是一門與(yu) 數學緊密結合的學科，曆史上許多控製理論專(zhuan) 家都有著深厚的數學功底，如控製論的先驅諾伯特·維納（NorbertWiener，1894.11.26~1964.3.18）就是一名數學家。控製理論中的最優(you) 控製、魯棒控製、反饋線性化等領域與(yu) 數學中的變分法、線性矩陣不等式、微分幾何、李代數都有著密不可分的關(guan) 係，可以說數學為(wei) 現代控製理論的發展奠定了紮實基礎。

而多項式根的分布也並非是純粹的數學問題，它對研究控製係統的穩定性有著重要意義(yi) ，下麵將介紹幾個(ge) 控製理論中與(yu) 根的分布有關(guan) 的結果，希望能起到拋磚引玉的作用，拓寬各位讀者視野。

Routh判據：該方法主要用於(yu) 判斷多項式的根的實部是否均小於(yu) 零，在線性連續控製係統中，如果係統的特征方程（某個(ge) 實係數多項式）存在正實部的根，則係統不穩定，因此該定理通常用於(yu) 研究連續控製係統的穩定性。

設為(wei) n次多項式（係數下標與(yu) 常見寫(xie) 法相反），且首項係數a0為(wei) 正，P(x)的零點均為(wei) 負實部的充分必要條件是Routh表每一行首列係數均為(wei) 正，其中Routh表的構造方法如下所示：

需要注意的是，Routh表從(cong) 第3行開始，若相關(guan) 位置對應的係數不存在則用0代替。

更進一步，特征方程中，實部為(wei) 正數的根的個(ge) 數等於(yu) Routh表的第一列元素符號改變的次數。由上可見，Routh表的定義(yi) 簡單，也適合編程實現，因此具有較強的實用價(jia) 值。

下麵給一個(ge) 應用Routh判據的例子：

考察多項式的根是否都是負實部。

構造Routh表如下：

根據Routh判據，第一列符號改變兩(liang) 次，所以有兩(liang) 個(ge) 正實部的根。

隨著集成電路技術的發展，微控製器（MCU，microcontrol unit）,數字控製器（DSP，digitalsignalprocessor）等數字控製芯片廣泛應用於(yu) 各種控製係統，數字控製器的輸出是離散化的（如DSP每50微秒改變一次輸出，在這50微秒內(nei) 的控製輸出都是不變的），這個(ge) 時候控製係統的特征方程仍為(wei) 一個(ge) 多項式，但是它的穩定性取決(jue) 於(yu) 該多項式的根的模長是否均小於(yu) 1，這個(ge) 時候則需要雙線性變換將問題轉換為(wei) Routh判據的形式。

設為(wei) n次多項式，若要判斷它的根的是否均在複平麵單位圓內(nei) ，我們(men) 需要先作雙線性變換，P(z)的根在單位圓內(nei) 等價(jia) 於(yu) 關(guan) 於(yu) w的多項式的根均為(wei) 負實部。

此外，也可以采用Jury判據來判斷多項式的根是否在單元圓內(nei) ，Jury判據不需要作變量代換，計算過程與(yu) Routh判據有一定相似。

考察多項式，構造下述係數：

（1）

（2）

（3）

……

如此下去，直到隻有三個(ge) 係數為(wei) 止。不妨設最後一行為(wei) ：，這裏用q來表示變量並不代表從(cong) 字母a算到了字母q，那麽(me) 多項式P(z)的根均在單位圓內(nei) 的充分必要條件為(wei) 下述條件均成立：

(1)

(2)

(3)

利用Jury判據，可以解決(jue) 前文提到的AMC多項問題。

首先P(-1)=-2, P(0)=1，故P(z)在區間(-1,0)上有一個(ge) 實數根。另一方麵，利用Jury判據可知多項式有模長大於(yu) 1的根，這表明P(z)即使存在一對共軛虛數根，那麽(me) 它的模長是大於(yu) 1的，所以題目答案為(wei) 0。

上述提到的Routh判據、Jury判據雖然能夠準確判斷某個(ge) 多項式是否有正實部根或根是否在單位圓內(nei) ，但對於(yu) 階數特別高的多項式（如基於(yu) 內(nei) 模原理的重複控製係統，特征方程往往是一個(ge) 高次的多項式，可達到40次甚至更高），這個(ge) 並不容易判斷，也不利於(yu) 工程應用過程的控製參數設計。基於(yu) 此，我們(men) 往往采用極大模原理來解決(jue) 相關(guan) 問題，極大模原理得到的是充分條件，而之前的定理得到的則是充分必要條件。

極大模原理：如果單變量複變函是一個(ge) 全純函數，那麽(me) 它的模的局部最大值不可能在其定義(yi) 域的內(nei) 部取到。

極大模原理的證明需要複分析的知識，但是對於(yu) 某些簡單的多項式，我們(men) 可以用初等的方法得到相關(guan) 結果，如2015年的中國西部數學邀請賽的第七題就有極大模原理的背景，題目如下：

關(guan) 於(yu) 多項式根的分布，還有其它處理手段，不過在AMC等競賽中一般也就采用韋達定理、不等式估計等初等手法，至於(yu) 本文的幾個(ge) 定理，大多數場合應該用不上，但可以作為(wei) 一個(ge) 備用選擇。