由USAMO題目延伸出的概率論知識

本月，我們(men) 一起來挑戰一道USAMO中較為(wei) 困難的問題，並看看機構的老師給我們(men) 提供了怎麽(me) 樣的解題思路——

每月一題

2020 USAMO Problem 6

 A 證明：首先要通過一些小的n，得到取等條件：

solution 1

可以看到，本題的代數證明非常複雜，筆者參考了Anyndche的解答，並修改了其中一些明顯的錯誤之處。雖然以上的證明已經可以作為(wei) USAMO的完整解答，但我們(men) 可以進一步觀察題幹，發現要證的結論與(yu) 我們(men) 熟知的Chebyshev不等式類似，但離散情形的Chebyshev不等式僅(jin) 能得到 ，又結合和，讓我們(men) 可以聯想到概率論中的Chebyshev不等式的思想，使用期望方法解決(jue) 它。

solution 2

以上證明反映了本題深刻的數學背景，它包含了抽象代數中的置換概念，概率論中方差的性質，本題也啟發大家在學習(xi) 概率論時，一定要認真理解期望、隨機變量等概念，熟悉它們(men) 的計算。