第 1 題. 設 a0 < a1 < a2 < · · · 是一個(ge) 無窮正整數列. 證明: 存在惟一的整數 n ≥ 1使得
第 2 題. 設 n≥2 是一個(ge) 整數. 考慮由 n2 個(ge) 單位正方形組成的一個(ge) n x n 棋盤. 一種放置 n 個(ge) 棋子“車”的方案被稱為(wei) 是 和平的, 如果每一行和每一列上都恰好有一個(ge) “車”. 求最大的正整數 k, 使得對於(yu) 任何一種和平放置 n 個(ge) “車”的方案, 都存在一個(ge) k × k 的正方形, 它的 k2 個(ge) 單位正方形裏都沒有“車”.
第 3 題. 在凸四邊形 ABCD 中∠ABC = ∠CDA = 90◦. 點 H 是 A 向 BD 引的垂線的垂足. 點 S 和點 T 分別在邊 AB 和邊 AD 上, 使得 H 在三角形 SCT 內(nei) 部, 且
證明: 直線 BD 和三角形 TSH 的外接圓相切.
第 4 題. 點 P 和 Q 在銳角三角形 ABC 的邊 BC 上, 滿足 ∠P AB = ∠BCA 且∠CAQ = ∠ABC. 點 M 和 N 分別在直線 AP 和 AQ 上, 使得 P 是 AM 的中點,且 Q 是 AN 的中點. 證明: 直線 BM 和 CN 的交點在三角形 ABC 的外接圓上.
第 5 題. 對每一個(ge) 正整數 n, 開普敦銀行都發行麵值為(wei) 1/n的硬幣. 給定總額不超過99 +1/2的有限多個(ge) 這樣的硬幣 (麵值不必兩(liang) 兩(liang) 不同) , 證明可以把它們(men) 分為(wei) 至多 100組, 使得每一組中硬幣的麵值之和最多是 1.
第 6 題. 平平平麵上的一族直線被稱為(wei) 是 處於(yu) 一般位置 的, 如果其中沒有兩(liang) 條直線平行, 沒有三條直線共點. 一族處於(yu) 一般位置的直線把平麵分割成若幹區域, 我們(men) 把其中麵積有限的區域稱為(wei) 這族直線的 有限區域. 證明: 對於(yu) 充分大的n 和任意處於(yu) 一般位置的 n 條直線, 我們(men) 都可以把其中至少 √n 條直線染成藍色, 使得每一個(ge) 有限區域的邊界都不全是藍色的.
注: 如果你的答卷上證明的是 c√n(而不是 √n) 的情形, 那麽(me) 將會(hui) 根據常數 c 的值給分.
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