第 1 題. 證明對於(yu) 任意一對正整數 k 和 n, 都存在 k 個(ge) (不必不相同的) 正整數 m1, m2, . . . , mk, 使得
第 2 題. 平麵上的 4027 個(ge) 點稱為(wei) 是一個(ge) 哥倫(lun) 比亞(ya) 式點集, 如果其中任意三點不共線, 且有 2013 個(ge) 點是紅色的, 2014 個(ge) 點是藍色的. 在平麵上畫出一組直線, 可以將平麵分成若幹區域. 如果一組直線對於(yu) 一個(ge) 哥倫(lun) 比亞(ya) 式點集滿足下述兩(liang) 個(ge) 條件, 我們(men) 就稱這是一個(ge) 好直線組:
- 這些直線不經過該哥倫比亞式點集中的任何一個點;
- 每個區域中都不會同時出現兩種顏色的點.
求 k 的最小值, 使得對於(yu) 任意的哥倫(lun) 比亞(ya) 式點集, 都存在由 k 條直線構成的好直線組.
第 3 題. 設三角形 ABC 的頂點 A 所對的旁切圓與(yu) 邊 BC 相切於(yu) 點 A1 . 類似地, 分別用頂點 B 和頂點 C 所對的旁切圓定義(yi) CA 邊上的點 B1 和 AB 邊上的點 C1. 假設三角形 A1B1C1 的外接圓圓心在三角形 ABC 的外接圓上. 證明：三角形 ABC 是直角三角形.
三角形 ABC 的頂點 A 所對的 旁切圓 是指與(yu) 邊 BC 相切，並且與(yu) 邊 AB, AC 的延長線相切的圓. 頂點 B，C 所對的旁切圓可類似定義(yi) ．
第 4 題. 設三角形 ABC 是一個(ge) 銳角三角形, 其垂心為(wei) H, 設 W 是邊 BC 上一點, 與(yu) 頂點 B,C 均不重合. M 和 N 分別是過頂點 B 和 C 的高的垂足. 記三角形 BWN 的外接圓為(wei) ω1, 設 X 是 ω1 上一點, 且 WX 是 ω1 的直徑. 類似地, 記三角形 CWM 的外接圓為(wei) ω2, 設 Y 是 ω2 上一點, 且 WY 是 ω2 的直徑. 證明: 點 X, Y 和 H 共線.
第 5 題. 記 Q>0 是所有正有理數組成的集合. 設函數 f : Q>0 → R 滿足如下三個(ge) 條件:
第 6 題. 設整數 n 3 , 在圓周上有 n + 1 個(ge) 等分點. 用數 0, 1, . . . , n 標記這些點, 每個(ge) 數字恰好用一次. 考慮所有可能的標記方式; 如果一種標記方式可以由另一種標記方式通過圓的旋轉得到, 那麽(me) 認為(wei) 這兩(liang) 種標記方式是同一個(ge) . 一種標記方式稱為(wei) 是 漂亮的, 如果對於(yu) 任意滿足 a + d = b + c 的四個(ge) 標記數 a < b < c < d, 連接標 a 和 d 的點的弦與(yu) 連接標 b 和 c 的點的弦都不相交.設 M 是漂亮的標記方式的總數, 又設 N 是滿足 x + y n , 且 gcd(x, y) = 1 的有序正整數對 (x, y)的個(ge) 數. 證明:M = N + 1.
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