2010年國際奧數競賽IMO題完整考題-下載

1.求所有的函數f:R→R，使得等式:f ([x]y)=f (x) [f (y)]

對所有x , y=R成立.（這裏， [z]表示不超過實數 z 的最大整數.）

2. 設三角形 ABC 的內(nei) 心是 I，外接圓為(wei) ．直線 AI 交圓F於(yu) 另一點 ．設E 是弧DBC上的一點,F 是邊 BC 上的一點，使得

設 G 是線段 IF 的中點．證明：直線 DG 與(yu) EI 的交點在圓上．

3．設N是所有正整數構成的集合．求所有的函數 g : N → N，使得對所有 m, n∈N，

(g(m) + n)(m+g(n))

是一個(ge) 完全平方數．

4.設P 是三角形ABC 內(nei) 部的一點， 直線AP，BP，CP 與(yu) 三角形ABC 的外接圓的另一個(ge) 交 點分別為(wei)  K，L ，M．圓在點 C 處的切線與(yu) 直線AB 相交於(yu) 點 S．假設 SC = SP，證明: MK = ML．

5.有6 個(ge) 盒子B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6  ，開始時每個(ge) 盒子中都恰好有一枚硬幣．每次可以任意選擇 如下兩(liang) 種方式之一對它們(men) 進行操作：

方式 1：選取一個(ge) 至少有一枚硬幣的盒子Bj(1≤j ≤ 5) ，從(cong) 盒子Bj  中取走一枚硬幣，並在盒子Bj+1 中加入 2 枚硬幣．

方式 2：選取一個(ge) 至少有一枚硬幣的盒子 Bk(1≤k ≤4) ，從(cong) 盒子 Bk中取走一枚硬幣，並且交換 盒子Bk+1 (可能是空盒)與(yu) 盒子Bk+2 (可能是空盒)中的所有硬幣．

問:  是否可以進行若幹次上述操作，使得盒子B1 , B2 , B3 , B4 , B5 中沒有硬幣，而盒子B6  中恰好有

6.設a1, a2 , a3 , ……是一個(ge) 正實數數列．假設存在某個(ge) 固定的正整數 s，使得對所有的 n＞s ，有

證明:  存在正整數l 和 N，l≤s ，使得對所有的 n≥N 都有an=al=an-1 ．

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