1.對任意由4 個(ge) 不同正整數組成的集合A={a1 , a2 , a3 , a4}，記 sA=a1+a2+a3+a4，設 nA 是滿
足ai+aj(1≤i≤j≤4) 整除sA 的數對（i，j）的個(ge) 數． 求所有由 4 個(ge) 不同正整數組成的集合A，使得 nA 達到最大值．
2.設S是平麵上包含至少兩(liang) 個(ge) 點的一個(ge) 有限點集，其中沒有三點在同一條直線上．
所謂一個(ge) “風車”是指這樣一個(ge) 過程：從(cong) 經過S 中單獨一點P 的一條直線L開始，以P 為(wei) 旋轉 中心順時針旋轉， 直至首次遇到S 中的另一點， 記為(wei) 點Q ．接著這條直線以Q 為(wei) 新的旋轉中心順時 針旋轉，直到再次遇到S 中的某一點，這樣的過程無限持續下去．
證明：可以適當選取S 中的一點P ，以及過P 的一條直線 ，使得由此產(chan) 生的“風車”將 S 中 的每一點都無限多次用作旋轉中心．
3．設 f : 是一個(ge) 定義(yi) 在實數集上的實值函數，滿足對所有實數 x，y，都有
f (x+y)≤yf (x)+f (f (x)) ，
證明：對所有實數x≤0 ，有 f (x)=0 ．
4.給定整數n＞0 ．有一個(ge) 天平和 n 個(ge) 重量分別為(wei) 20 , 21, ……, 2n-1 的砝碼．
現通過n 步操作逐個(ge) 將所有砝碼都放上天平， 使得在操作過程中， 右邊的重量總不超過左邊的 重量．每一步操作是從(cong) 尚未放上天平的砝碼中選擇一個(ge) 砝碼，將其放到天平的左邊或右邊，直至 所有砝碼都被放上天平．
求整個(ge) 操作過程的不同方法個(ge) 數．
5.設f是一個(ge) 定義(yi) 在整數集上取值為(wei) 正整數的函數，已知對任意兩(liang) 個(ge) 整數 m，n，差f(m)-f(n) 能被f (m-n) 整除．證明：對所有整數 m ，n，若f (m)≤f (n) ，則 f (n) 被f (m) 整除．
6.設銳角三角形ABC的外接圓為(wei) F，L是圓F的一條切線． 記切線L關(guan) 於(yu) 直線 BC，CA 和AB 的對稱直線分別為(wei) La,Lb和Lc ．證明：由直線La ，Lb和Lc 構成的三角形的外接圓與(yu) 圓F相切．
【競賽報名/項目谘詢+微信：mollywei007】
評論已經被關(guan) 閉。