等勢線是什麽？等勢線原理解析

所謂等勢線 (equipotential lines)，就是由引力勢 (gravtitational potential) 或電勢 (electric potential) 都相等的點所連成的線。也就是說，對於(yu) 等勢線上的每個(ge) 點，引力勢或電勢都相等。
我們(men) 以引力勢為(wei) 例，一個(ge) 質量為(wei) M 的質點周圍的引力勢表達式為(wei) ：

式中 r 為(wei) 距質點的距離。所以在以該質點為(wei) 圓心、以 r 為(wei) 半徑的圓周上，引力勢處處相等。如下圖，一個(ge) 質點周圍的等勢線就是一個(ge) 個(ge) 同心圓。根據以上公式可知，引力勢是負值，且 r 越大、引力勢也越大，直到 r 趨於(yu) 無窮大時，引力勢趨於(yu) 零。

對於(yu) 電勢，有著相似的性質。一個(ge) 帶電量為(wei) q 的點電荷周圍空間的電勢表達式是：

由上式可見，對於(yu) 距該點電荷距離相同的點，r 相同，電勢也就相同，所以點電荷周圍的等勢線依然是上圖所示的同心圓。
電勢和引力勢的另一個(ge) 相同之處在於(yu) 當 r 趨於(yu) 無窮大時，電勢也為(wei) 零，即都是以無窮遠處為(wei) “勢” (potential) 的零點。但引力勢一般隻能為(wei) 負，而電勢的正負是由上式中點電荷 q 的正負來決(jue) 定的。正電荷周圍的電勢為(wei) 正，負電荷周圍的電勢為(wei) 負。
如果我們(men) 把一個(ge) 質點周圍的重力場 (gravitational field) 和等勢線 (equipotential lines) 同時畫出，應如下圖：

可見，藍色的重力場線是沿徑向的，而黑色的等勢線是沿圓的周長方向，兩(liang) 種線處處垂直，這是一個(ge) 非常重要的結論。再強調一遍，重力場線或電場線與(yu) 它們(men) 所對應的等勢線處處垂直。如果我們(men) 已知重力場線或電場線，那麽(me) 相應的等勢線可通過作垂線畫出；相反，若已知等勢線，那麽(me) 作與(yu) 這些等勢線相垂直的線即為(wei) 重力場線或電場線。
為(wei) 什麽(me) 會(hui) 有如此規律？
我們(men) 以電場為(wei) 例簡要證明一下，重力場中有相似的證明方法。

如上圖，charge Q 在其周圍創造了電場，我們(men) 要把一個(ge) 帶電量為(wei) q 的試探電荷從(cong) A 點以很慢很慢的速度移到 B 點，在這個(ge) 過程的始末試探電荷的動能可以忽略不計。假設 A 點的電勢為(wei) VA，B 點的電勢為(wei) VB，那麽(me) 試探電荷在 A、B 兩(liang) 點所擁有的電勢能分別為(wei) ：

由於(yu) 從(cong) A 點到 B 點外力所做的功 W 轉化為(wei) 了試探電荷的電勢能變化，有：

上式簡潔地呈現了外力做功 W 等於(yu) 電荷的電量 q 乘以 A、B 兩(liang) 點間的電勢差 ΔVe。
對於(yu) 等勢線上兩(liang) 個(ge) 相鄰的點來說，由於(yu) 電勢相等、電勢差 ΔV 為(wei) 0，那麽(me) 外力做功 W 也必為(wei) 0。根據這條結論，我們(men) 舉(ju) 個(ge) 例子：

如上圖，在一個(ge) 向右的勻強電場中放置一個(ge) 正電荷 q，正電荷受到電場力 FE 的方向與(yu) 電場同向，向右。將該電荷以極慢的速度移至另一個(ge) 點，若外力不做功，則兩(liang) 點電勢相同。那麽(me) 沿什麽(me) 方向移動，外力不做功呢？

若使電荷以極慢且不變的速度移動，則根據牛頓第一定律，其合外力為(wei) 零，那麽(me) 外力必須向左，與(yu) 向右的電場力 FE 相平衡。在外力向左的情況下，如何才能使它不做功？

顯然是位移方向垂直於(yu) 外力方向時外力不做功。也就是說如果正電荷上下移動，外力做功為(wei) 零。這說明了等勢線是上下方向的豎線，等勢線垂直於(yu) 電場線。
我們(men) 再重新整理一遍思路：
(1) 由於(yu) ，等勢線方向上，外力做功必為(wei) 零；
(2) 電荷所受電場力方向與(yu) 電場方向一定在一條直線上；
(3) 為(wei) 了使電荷以極低的速度勻速運動，外力需要與(yu) 電場力大小相等、方向相反，所以外力方向也與(yu) 電場方向在一條直線上；
(4) 電荷沿等勢線方向移動，外力做功為(wei) 零，所以這個(ge) 位移方向必垂直於(yu) 外力方向，也即等勢線方向垂直於(yu) 電場線方向。

以上簡單論證了一下 “等勢線與(yu) 電場線方向相互垂直” 的結論，邏輯較為(wei) 複雜，第一次學習(xi) 的話可能需要反複思考、咀嚼，才能想清楚。
最後我們(men) 看幾個(ge) 等勢線與(yu) 電場線的例子，首先是平行極板：

如上圖，紅色的電場線由上麵的正極板出發、指向負極板，在兩(liang) 極板之間，電場強度均勻，所以電場線平行、等距，在邊緣處打彎，且由於(yu) 電場減弱、變得更加疏鬆。圖中黑色的等勢線處處垂直於(yu) 電場線：在每個(ge) 與(yu) 電場線的交點處都垂直。
下圖是兩(liang) 個(ge) 帶等量正電的點電荷，q1 = q2：

圖中紅色的電場線由兩(liang) 個(ge) 正電荷出發、並相互排斥，黑色的等勢線依然與(yu) 電場線處處垂直。
如果兩(liang) 點電荷帶電量不等，q2 > q1，那麽(me) q2 的電場線會(hui) 更強勢一些、向 q1 有壓倒性優(you) 勢，等勢線也會(hui) 相應的變化，如下圖：

等勢線

下圖是左側(ce) 為(wei) 正電荷 q1 = +q、右側(ce) 為(wei) 負電荷 q2 = -q 的情形，紅色的電場線從(cong) 正電荷出發、箭頭指向負電荷，黑色的等勢線與(yu) 電場線處處垂直：

若 q2 的帶電量更大些，那麽(me) 電場線會(hui) 在 q2 處相對密集，等勢線如下圖所示：

通過觀察以上五幅圖，不難看出等勢線與(yu) 電場線在每一個(ge) 交點處都垂直的特征。如果想更深刻地掌握這個(ge) 規律，希望你能在觀察的基礎上，把上述五幅圖自行畫出來。