A組

1. 求證：對任意正整數，沒有（）形式的質因子．
2. 四邊形內接於圓，為對角線的中點．，，，分別為，，，的內切圓圓心．求證：和的外接圓與的兩個交點構成一組對徑點．
   注：對圓上的兩點和，稱和為一組對徑點，即為的一條直徑．
3. Alice和Bob進行一個遊戲，從一個長度為的二進製字符串開始．在每一回合中，字符串最右邊的數字被刪除．如果被刪除的數字是，Alice在最左邊加上一個她想要的數字；否則，Bob在最左邊加上一個他想要的數字．
   Alice需要在最短的回合內將字符串變為全是，即個；而Bob需要讓該回合數變得盡可能大，或者完全阻止Alice達成目標．
   (a)如果兩人都完成得足夠好，是否存在字符串，使得Bob可以完全阻止Alice達成目標．
   (b)如果(a)的答案是肯定的，求出所有這樣的字符串；如果(a)的答案是否定的，求出Alice達成目標的最大回合數，並求出達到最大回合數時的字符串．

B組

1. ，，為區間中的實數，且滿足．求的最大值．
2. 設為奇質數．求證：對任意整數，存在整數和，使得．
3. 在中，點為點到的垂足，點為點到的垂足．設為的外接圓，為上一點，且滿足．設為的中點，為和的第二個交點．為上一點，且滿足平行於．求證：，，，四點共圓．