團體賽

一個(ge) 邪惡的女巫在製作毒藥．為(wei) 了使藥水起作用，毒箭蛙的數量不能超過，狼牙的數量必須是偶數，龍鱗的數量必須是的倍數，她也可以放入任意數量的虎釘．已知此毒藥共有份材料，女巫有多少種方式添加材料，使得毒藥起效？
為(wei) 滿足如下條件的最小正整數：對任意，均為(wei) 正整數．設為(wei) 的約數個(ge) 數，求的約數個(ge) 數．
設，記跑遍所有正整數時，的最大值為(wei) ．如果和為(wei) 互質的正整數，求除以的餘(yu) 數．
Abby和Ben的弟弟Carl想要糖果．Abby有個(ge) 不同的糖果，Ben有個(ge) 不同的糖果．他們(men) 打算給Carl一些糖果．由於(yu) Ben想成為(wei) 比Abby更好的哥哥，他打算比Abby多給Carl塊糖果．設Abby和Ben給Carl糖果的不同方式共有種，求的正約數個(ge) 數．
給定實數，滿足，定義(yi) 實值函數，其中．對，極坐標方程表示一個(ge) 左焦點位於(yu) 原點的橢圓．設橢圓的麵積為(wei) ．已知，其中和為(wei) 互質的正整數．求．
Jack在玩一個(ge) 遊戲，首先，他擲一枚六麵等概率的骰子，得到一個(ge) 數字．然後，他開始擲硬幣，如果擲出連續次正麵，則取得勝利；如果擲出連續次反麵，則他再擲一次骰子，並重新進行遊戲．Jack在取得勝利前擲硬幣的次數的期望是多少？
多項式的所有根均為(wei) 單位根．稱實數是“好的”，如果為(wei) 多項式的一個(ge) 根，且的虛部為(wei) 正．設為(wei) 所有“好的”實數之和，，其中和為(wei) 互質的正整數，求．
新一屆的PUMaC比賽將邀請個(ge) 學生，編號為(wei) ，，，．開始時，學生們(men) 被分為(wei) 組，每組人，學生被分到每一組的概率相同．在每一組中，編號最小的學生獲勝，獲勝者進入第二輪．在進入第二輪的名學生中，隨機從(cong) 中選出一個(ge) 冠軍(jun) ．設冠軍(jun) 編號的期望為(wei) ，其中和為(wei) 互質的正整數，求．
設為(wei) 半徑為(wei) 的圓的一條直徑．點在上，且．點為(wei) 上另一點，滿足．設點為(wei) 點關(guan) 於(yu) 中點的對稱點，點為(wei) 點關(guan) 於(yu) 中點的對稱點．若的麵積為(wei) ，其中和為(wei) 互質的正整數，求．
求使得為(wei) 整數，且滿足的正整數組的組數．
滿足，，．設為(wei) 滿足以下條件的麵積最小的三角形：平行於(yu) ，平行於(yu) ，平行於(yu) ，且和的外接圓內(nei) 切．直線和的外接圓再次交於(yu) 點．求．
給定整數，定義(yi) 實數列，，，滿足對任意，都有．若對某個(ge) ，能為(wei) 整數，則稱下標是好的．求區間中所有不好的下標之和．
給定正整數及其質因數分解式，定義(yi) ．設為(wei) 滿足的最大奇數，為(wei) 滿足的最小奇數．設，其中為(wei) 非零整數，為(wei) 質數．求．
Heron將要觀看一部共有集的節目，該節目每天發布一集．Heron想在首播那天觀看第一集和最後一集，他不想連續兩(liang) 天不看該節目，且可以在一天內(nei) 觀看任意多集．用表示Heron觀看該節目的總方法數，設為(wei) 滿足的第小的．求的值．
銳角滿足，．設，分別為(wei) ，在對邊的垂足，為(wei) 的垂心．設為(wei) 外接圓上劣弧上的一點，且滿足，為(wei) 到的垂足．若，，求的度數．