點電荷的電場有什麽特點？點電荷電場說明

點電荷 or point charge 這個(ge) 概念是指自身帶電、但體(ti) 積可忽略為(wei) 一個(ge) 點的電荷。如下圖所示，帶正電的點電荷 +Q 周圍的電場呈發散狀，電場線向外指；帶負電的點電荷 -Q 周圍的電場是聚斂的，電場線方向指向負電荷。

電場線有幾個(ge) 特點：
1) 上圖中的電場線分別是由中心的正電荷 +Q  和負電荷 -Q 創造的。如果把這兩(liang) 個(ge) 電荷拿走，電場線就消失了。

2) 電場線越密的地方，說明電場越強，越疏鬆的地方，說明電場越弱。上圖中，靠近正電荷或負電荷的地方，電場線密集，電場就強。越遠離中心，電場線越稀疏，電場強度就越弱。

3) 電場線的方向是放入電場的正電荷 +q 的受力方向。這一點同學們(men) 最容易混淆。需要強調的是，這裏放入電場的正電荷 +q 與(yu) 創造電場的電荷 +Q 與(yu) -Q不一樣。我們(men) 一般把 +q  也叫作試探電荷 or test charge，它是用來試探試探這個(ge) 電場的。如果原本的電場方向向右，那麽(me) 這個(ge)  +q  的受力方向就向右；如果原本的電場方向向上，那麽(me) 它就受到向上的電場力。反之亦然，如果這個(ge)  +q  的受力方向向左，那麽(me) 說明此點電場方向就向左；受力方向向下，那麽(me) 此處電場方向也朝下。關(guan) 於(yu) 電場與(yu) 電場力我們(men) 有如下公式：

上述公式中的 q 即為(wei) 試探電荷，F 為(wei) 試探電荷在電場中所受到的電場力，通過受力 F 和試探電荷本身的電量 q 即可求出電場的大小 E。

那麽(me) 如何分析電場方向呢？
(a) 如果試探電荷 q > 0，帶正電，那麽(me) 根據上麵的公式，E 與(yu) F 就同向，即帶正電的試探電荷的受力方向就是電場方向；
(b) 如果試探電荷 q < 0，帶負電，那麽(me) 說明上麵公式中的 E 與(yu)  F 反向，即帶負電的試探電荷的受力方向 is opposite to 電場方向。

4) 電場線總是從(cong) 正電荷發出，到負電荷終止。下圖為(wei) 一對兒(er) 電荷周圍的電場情況，你可以看到，電場線的起點總是正電荷，而箭頭最終總是指向負電荷。

講完電場和點電荷的基本知識，下麵我們(men) 來做一個(ge) 點電荷周圍電場大小的簡單推導吧:

如上圖，我們(men) 先把一個(ge) 帶電量為(wei) +Q 的電荷放入左側(ce) ，之所以畫得很大，是因為(wei) 它是 source charge，產(chan) 生電場的源頭，一般它也是固定不動的。然後在它的右側(ce) ，我們(men) 放入一個(ge) 小的帶電量為(wei) +q 的 test charge。這個(ge) +q 不幸進入了 +Q 的電場範圍 (地盤兒(er) )，於(yu) 是會(hui) 受到右偏上的電場力 F。

為(wei) 什麽(me) 非要把 test charge 畫得那麽(me) 小？因為(wei) 我們(men) 知道每個(ge) 帶電物體(ti) 周圍都是有電場的，test charge 也不例外。如果它的帶電量大，那麽(me) 自身所產(chan) 生的電場就大，這樣的話會(hui) 影響到 +Q 原有的電場，使問題複雜化。所以為(wei) 了不影響我們(men) 的老大哥 +Q ，小弟 +q 隻好委屈一下自己，一般帶電量會(hui) 非常非常的小，遠小於(yu) +Q。畢竟，+Q 才是主角，是電場的創造者嘛！

根據點電荷間的庫倫(lun) 定律，我們(men) 知道這個(ge)  +q 的受力大小是：

其中 r 為(wei) 兩(liang) 個(ge) 電荷之間的距離，k 為(wei) 庫倫(lun) 常數：

當然，根據牛頓第三定律，作用力等於(yu) 反作用力，Q 給 q 一個(ge) 排斥力(repulsive force)，q 也會(hui) 反過來給 Q 一個(ge) 排斥力。隻不過我們(men) 一般認為(wei) Q 是老大哥嘛，穩坐釣魚台，它是固定住不動的，所以一般很少分析它的受力情況。

前麵我們(men) 有說過空間中任意一點的電場 E 的大小等於(yu) 試探電荷的受力 F 除以上它本身的帶電量 q，即 E = F / q。那麽(me) 可將庫倫(lun) 定律中的 F  代入此式得：

上麵這個(ge) 公式在 IB 的公式表裏是沒有的，但它很重要，所以我建議你背下來，或者至少要會(hui) 推導。這個(ge) 公式告訴我們(men) 點電荷 +Q 在它周圍任何一點所產(chan) 生的電場大小，本質上隻與(yu) 它本身的帶電量 Q，以及距離它有多遠 r 有關(guan) 。電量 Q 越大，那麽(me) 它周圍產(chan) 生的電場自然越大；距離 Q 點越近的地方， r 越小，那麽(me) E 就大。從(cong) 下圖中的電場線也能看出來嘛，離中心點電荷越近的地方，電場線越密，電場就大；越遠的地方，電場線發散了，變鬆散了，那麽(me) 電場就小。

好，知識就講到這兒(er) ，你聽懂了嗎? 聽懂了也沒啥用哈，會(hui) 做題才是真英雄！下麵的題，自己先嚐試做一做，實在不會(hui) 再看解答。

Example: As shown in the diagram below, three point charges locate at the three points of the equilateral triangle.  The charge on the top is positive, and two bottom charges are negative.  The side length of the triangle is 0.10 m, and the magnitude of the charge q = 2.0 nC.  What is the resultant electric field at the center O point of the equilateral triangle?

解答: 首先要注意電場是矢量，所以這道題問的不僅(jin) 僅(jin) 是電場大小，還有電場的方向。方向比較容易判斷，我們(men) 就先解決(jue) O 點合電場的方向。由於(yu) 這三個(ge) 點電荷的電荷量相等，離 O 點的距離也都一樣，所以根據：

這三個(ge) 點電荷在 O 的電場大小都一樣，所畫箭頭的長度就要一樣長。我們(men) 分別畫出它們(men) 在 O 點的方向，如下圖：

由於(yu) 負電荷所產(chan) 生的電場指向它本身，所以標號為(wei) 1 的負電荷產(chan) 生的電場 E1 指向它自己，同理，標號為(wei)  2 的負電荷所產(chan) 生的電場 E2 也指向它自己。標號為(wei) 3 的是正電荷，我們(men) 剛才講過正電荷的電場線是發散的，所以它在 O 點的電場 E3 應該指離它自己，如上圖是豎直向下的。

現在有了三個(ge) 電場的方向，下麵要求它們(men) 的和了。“電場” 和 “力” 很像，都是矢量，力怎麽(me) 求和，電場就怎麽(me) 求和。我們(men) 一步一步來，用平行四邊形法則先求出 E1 和 E2 的和，表示為(wei)  E4 ，如下圖所示，E4 方向是豎直向下的。然後再將 E3 與(yu)  E4 求和，由於(yu) 它倆(lia) 方向都向下，求和就是長度相加，最終表示為(wei) Etotal：

合電場的方向我們(men) 搞定啦！Downward！下麵計算大小，說白了就是算箭頭長度唄。還是不要一口吃個(ge) 胖子，我們(men) 一點一點來。先寫(xie) 出一個(ge) 點電荷的場強公式：

這裏要注意上麵公式中的大 Q 和題目給的小 q 好像不相符。這裏不要死記硬背，你需要理解的是這個(ge) 公式中的 Q 指的是產(chan) 生電場的電荷所具有的電量，是 source charge。題目中給的雖然是 q，但 O 點的電場確實是它們(men) 產(chan) 生的，所以 q 就是 source charge，可以當做 Q 用，直接代入到上述公式之中。

上麵公式中的 k 是常數，Q 也有了，Q = q = 2 nC (這裏注意是 “nC” 哦，"n" 是 nano，十的負九次方)，但上式中的 r (每個(ge) 點電荷到中心 O 點的距離) 還不知道。已知等邊三角形的邊長是 0.1 m，求 r 需要用到一些幾何關(guan) 係:

由上圖，三角形 AOB 中，我們(men) 有了 OAB 這個(ge) 角是 30 度，又關(guan) 心它的鄰邊和斜邊，所以有：

有了 r 就可以求出每個(ge) 點電荷在 O 的電場大小啦：

那合電場 Etotal 怎麽(me) 算嘞 ？我們(men) 先把剛才的電場合成的圖拿過來看一看：

仔細觀察不難發現，其實三角形 COD 是等邊三角形，ODF 同樣是等邊三角形，因為(wei) 如果你導角的話，會(hui) 發現這兩(liang) 個(ge) 三角形的所有內(nei) 角都是 60 度！牛！！如果是等邊三角形那就容易多了，輕鬆得到 E4 = E1 = 5350 N/C！那總的電場強度 Etotal = E3 + E4 = 5350 N/C + 5350 N/C = 10700 N/C。

這道題雖然計算複雜，也涉及到幾何中的三角函數及導角的推理，但你的整體(ti) 思路應該是十分清晰的：
(1) 畫出每個(ge) 點電荷的電場矢量(箭頭)；
(2) 通過平行四邊形定則進行矢量合成，畫出合電場方向；
(3) 通過點電荷的電場公式算出每個(ge) 點電荷在 O 點的電場強度；
(4) 根據幾何關(guan) 係進行邊長的運算，求出合電場的大小。