整體法與局部法分析

在解決(jue) 一個(ge) 問題時，我們(men) 有時會(hui) 從(cong) 整體(ti) 的角度思考，有時又要研究某一個(ge) 具體(ti) 的細節，這時就涉及到整體(ti) 法和局部法的切換。所謂整體(ti) 法，就是把所有運動狀態相同或相似的物體(ti) 看為(wei) 一個(ge) 整體(ti) （或者係統）來分析；局部法，即使單獨拿出其中一個(ge) 物體(ti) 作為(wei) 研究對象來分析。

As shown in the figure above, a person is pushing two blocks with a force F = 300 N.  The mass of block 1 is m1 = 10 kg, and that of block 2 is m2 = 20 kg.  Suppose that the surface between the floor and the blocks is frictionless.
(a) What is the acceleration of m2 ?
(b) What is the force exerted on m1 by m2 ?

這道題的 (a) 問表麵上問的是物塊 2 的加速度，由於(yu) 兩(liang) 個(ge) 物塊是一起運動的，所以運動狀態相同，物塊 1 的加速度等於(yu) 物塊 2 的加速度。那麽(me) 在解決(jue) 這個(ge) 問題時，我們(men) 就可以把兩(liang) 個(ge) 物塊看為(wei) 是一個(ge) 整體(ti) 來研究。豎直方向上，重力和支持力平衡，合外力為(wei) 零，主要是分析整個(ge) 係統水平方向的受力。由於(yu) 沒有摩擦力，所以這個(ge) 整體(ti) 在水平方向隻受人給它們(men) 的推力 F。又知道它們(men) 的總質量 m = 10 kg + 20 kg = 30 kg，所以根據牛頓第二定律 a = F / m = 300 N / 30 kg = 10 N/kg 或 10 ，方向向右。這個(ge) 加速度既是係統整體(ti) 的加速度，也是兩(liang) 個(ge) 物塊中任意一個(ge) 的加速度。
(b) 小問其中一個(ge) 考點是兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 的相互作用力。根據牛頓第三定律，m2 給 m1  的力與(yu) m1 給 m2 的力大小相等，方向相反。所以，我們(men) 可以通過求 m1 給 m2 的力來間接求出 m2 給 m1 的力。這對力是兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 之間的內(nei) 力，我們(men) 就不能再用整體(ti) 法了，反而要單獨分析  m2，由整體(ti) 法切換到局部法。水平方向，m2 隻受到一個(ge) 力，就是 m1 給 m2 的力，所以根據牛頓第二定律有：

有了 1 給 2 的力，那麽(me) 2 給 1 的力大小也是 200 N，方向向左。

上麵這道例題中我們(men) 先用整體(ti) 法算出加速度，再單獨分析其中一個(ge) 物體(ti) ，從(cong) 而算出兩(liang) 物體(ti) 之間的內(nei) 力，這是非常典型的解題思路。下麵我們(men) 看一道更難的題：

The above figure shows two objects hanging over a pulley.  The mass of the two objects are given as M and m ( M > m ).  The friction of the pulley and the mass of the string are negligible.

(a) Calculate the acceleration of the two objects;
(b) What's the magnitude of the tension in the string?

這道題的難點在於(yu) 兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 的運動方向不一致，由於(yu) 質量上 M > m，質量大的物體(ti) 向下運動，質量小的物體(ti) 向上運動。又因為(wei) 兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 用一條輕繩連接，所以它們(men) 的運動狀態是相似的，任何時刻的速度和加速度的大小都要一樣。如果不一樣的話，繩就斷了或鬆了。

雖然 M 和 m 的運動方向不一樣，由於(yu) 運動狀態相似，我們(men) 在求加速度時依然可以用整體(ti) 法，把兩(liang) 個(ge) 物塊看作一個(ge) 係統。讓兩(liang) 個(ge) 物塊動起來的力是 Mg，而 mg 其實是阻礙兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 運動的，所以是阻力。因此係統的合外力就是 (Mg - mg)。根據牛頓第二定律：

公式中需要注意的是由於(yu) 我們(men) 以兩(liang) 個(ge) 物塊整體(ti) 為(wei) 研究對象，等式右邊展開質量時需要帶入的是兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 的質量和。整理這個(ge) 公式可算出加速度大小：

M 和 m 加速度大小相同，方向分別是向下和向上。

第二小問求繩中的張力。由於(yu) 張力是兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 的內(nei) 力，所以我們(men) 就不能以整體(ti) 為(wei) 研究對象了，求內(nei) 力要用局部法，分析其中一個(ge) 物體(ti) 的受力和運動情況。我們(men) 就單獨分析 M 吧，畫出它的受力如下圖：

在豎直方向上 M 受到向下的重力 Mg 和向上的繩的拉力 T。在第一問中我們(men) 知道它有向下的加速度，那麽(me) 合外力也要向下，說明向下的重力大於(yu) 向上的拉力。根據牛頓第二定律對 M 列公式有：

將第一問答案中加速度 a 的表達式帶入有：

以上就是繩中張力的大小。由於(yu) 繩子質量不計，所以繩中張力處處相等，也就是說，繩子給 M 向上的拉力與(yu) 繩子給 m 向上的拉力是相同。

小結：整體(ti) 法是將多個(ge) 運動狀態相同或相似的物體(ti) 看做一個(ge) 整體(ti) ，適用於(yu) 求解整體(ti) 的加速度或合外力。當把多個(ge) 物體(ti) 視為(wei) 一個(ge) 係統時，牛二定律公式中需要帶入它們(men) 的總質量。局部法適合分析物體(ti) 之間的相互作用力，也叫作整個(ge) 係統的內(nei) 力。這時我們(men) 要單獨拿出一個(ge) 物體(ti) 來分析它的受力和運動狀況。通常在解決(jue) 問題時，整體(ti) 法與(yu) 局部法都會(hui) 被先後運用。

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