地球衛星的環繞速度與周期公式

衛星通常在不同高度的軌道上做環繞地球的運動。其中有兩(liang) 種比較典型的軌道，一種是極軌道 (polar orbit)，指的是在距離南北極不遠的上空軌道，距地麵高度通常在 100-800 km。一個(ge) 比較有代表性的就是國際空間站 (International Space Station)。如下圖所示，國際空間站在距地球表麵大約 400 km 的高度，它的主要功能是供各國科學家做太空實驗，比如在微重力環境下研究細胞核的生長。

另一類常見的衛星是地球同步衛星（Geosynchronous Satellites），它的特點是環繞地球一周的時間（即周期）與(yu) 地球的自轉周期相同，都是大約 24 小時。比較特殊的一種叫 Geostationary Satellite，顧名思義(yi) ，相對地球表麵保持靜止。也就是說，如果你站在地球的一個(ge) 地方觀察到了它，那麽(me) 任何時刻它都在那個(ge) 位置。這類衛星主要用於(yu) 電視節目傳(chuan) 輸、電話通訊等。那麽(me) 怎樣讓衛星時刻保持與(yu) 地球相對靜止呢？答案是把他們(men) 放置在赤道上空。

上圖給出了 Geostationary 和 Geosynchronous 的典型軌道，他倆(lia) 環繞地球的周期都是大約 24 小時，所以軌道高度都一樣。唯一不同的是 Geosynchronous 的軌道與(yu) 赤道的傾(qing) 角是任意的，而 Geostationary 的軌道必須在赤道上空的一定高度。
嚴(yan) 格意義(yi) 上說，衛星環繞地球都是走的橢圓軌道，為(wei) 了方便計算，我們(men) 就簡化成完美的圓形軌道了。那麽(me) ，在這個(ge) 衛星關(guan) 於(yu) 地球所做的圓周運動中，萬(wan) 有引力充當向心力。由於(yu) 萬(wan) 有引力指向圓周運動的圓心，與(yu) 衛星的瞬時速度時刻垂直，所以這也是一個(ge) 勻速率圓周運動。下麵回顧幾個(ge) 公式：

萬(wan) 有引力 (gravitational force) 公式：

勻速圓周運動向心力 (centripetal force) 公式：

由於(yu) 萬(wan) 有引力充當向心力：

在上麵這個(ge) 公式中，等式最左邊是萬(wan) 有引力的展開式，右邊的三個(ge) 是向心力的公式，分別包含速度 v，角速度 ω，和周期 T。已知或要求它們(men) 中的哪個(ge) 物理量，就要用哪個(ge) 公式展開向心力。
上式中的 r 需要說一下，在萬(wan) 有引力表達式中，它代表的是質心與(yu) 質心的距離，即衛星與(yu) 地心的距離；在向心力表達式中，它代表的是圓周運動環繞半徑，其實還是衛星與(yu) 地心的距離。所以兩(liang) 個(ge) 公式中的 r 在大小上是相同的。

理論介紹到這裏，下麵做兩(liang) 道例題吧：

eg1: The International Space Station (ISS) moves along a polar orbit which is 400 km above the surface of Earth.  The radius and mass of Earth are 6400 km and  kg, respectively.  The gravitational constant .  Calculate the velocity and period of ISS.

對於(yu) 這種類型的勻速圓周運動，當直接運用萬(wan) 有引力充當向心力的公式：FG=Fc 。由於(yu) 求線速度 v，所以用帶有速度的公式展開，得：

上式中等式兩(liang) 邊的 m 指的是衛星的質量，即空間站的質量，被削掉了，而 M 指的是被環繞星體(ti) 的質量，在這道題中是地球的質量。r 為(wei) 衛星到地心的距離，它是地球半徑和衛星高度的和 R+h = 400 km + 6400 km = 6800 km，代入數值有：

有了圓周運動的線速度，求圓周運動周期就很簡單了：

以上的計算過程要注意有效數字的位數，題目中給的已知有效數字是兩(liang) 位，經過乘除運算，你的答案就要保持在兩(liang) 位左右，不能過多。通過上述計算，可以看出國際空間站以極高的速度環繞地球做運動，大約每一個(ge) 半小時就能繞地球一周，那麽(me) 一天能環繞地球 16 次。

eg2: Estimate the height of a geosynchronous satellite.  The radius and mass of Earth are 6400 km and  kg, respectively.  The gravitational constant .

見到 Geosynchronous 或 Geostationary 這兩(liang) 個(ge) 詞要立馬反應到衛星的周期是已知的，24 小時。把 24 小時化為(wei) 國際單位製“秒”是：24 h = 24 x 3600 s = 86400 s。求衛星高度，我們(men) 依然用萬(wan) 有引力充當向心力的公式，但這次向心力的公式應該用周期展開：

求出環繞半徑 r ：

這裏算出的環繞半徑是同步衛星到地心的距離，求同步衛星距地麵的高度還要減去地球半徑：
所以地球同步衛星的高度約為(wei) 36000 km，比起國際空間站 400 km 的高度要高多了。發射到 36000 km 那麽(me) 高，所需要的能量也是很大的。
根據以上兩(liang) 個(ge) 例題，我們(men) 不難總結出兩(liang) 個(ge) 公式：

衛星在環繞地球做勻速圓周運動時，環繞半徑越大（即距地麵高度越高），線速度越小，周期越大。

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