Hello，學弟學妹們(men) 大家好～我是在CAIE考試局拿過四門A*的VC，不知不覺間，高數係列已經寫(xie) 到了最後一張paper了，相信你也對這一張號稱“高數最難卷”的FP2感到好奇吧？今天讓我們(men) 一起來通過這篇文章探探它的“廬山真麵目”吧！
對前3張papers感興(xing) 趣的同學也可以去看看我前麵的文章哦：
內(nei) 容介紹
之前有提到過：CAIE考試局的A Level高數分為(wei) 了四張卷子，分別為(wei) 高數純數1（FP1）、高數力學（FM）、高數統計（FS）和高數純數2（FP2），難度逐漸攀升，而高數純數2毫無疑問是這四張卷子裏最難的。
如果說同為(wei) 純數卷的高數純數1的重點還在於(yu) 和A Level數學的內(nei) 容銜接上的話，那麽(me) 高數純數2的難度係數就要“更上一層樓”了。如果你對純數的印象僅(jin) 僅(jin) 局限於(yu) 微積分，那麽(me) 你就“too young,too naive”了，因為(wei) FP2顯然引入了更多較為(wei) 陌生、也是更為(wei) 進階的概念。
舉(ju) 個(ge) 直觀點的例子，FP2在積分（integration）這一章引入了全新的歸約公式（reduction formula）的概念，而在微分（differentiation）這一章裏更是引入了新奇的麥克勞林級數（Maclaurin Series）的內(nei) 容。
看到這裏，你是不是有些焦慮如何學好FP2了呢？別急，下麵的內(nei) 容或許對你有所幫助。
如何自學高數純數2
FP2這張卷子一共包含了六個(ge) 章節，讓我們(men) 來逐個(ge) 擊破～
Chapter 1
第一章雙曲線函數（hyperbolic function）的內(nei) 容是首次與(yu) 大家見麵，但千萬(wan) 別被這個(ge) “下馬威”給嚇到了，隻要掌握技巧，雙曲線函數並沒有想象中那麽(me) 難。
先來幾個(ge) 必須掌握的公式：
可以從(cong) 圖中看出，雙曲線函數和三角函數（trigonometric function）頗為(wei) 相似，而三角函數作為(wei) 同學們(men) 在A Level數學階段就已爛熟於(yu) 心的知識點，顯然從(cong) 三角函數入手，比直接“生啃”雙曲線函數要更具性價(jia) 比。
那麽(me) ，如何從(cong) 三角函數推出雙曲線函數呢？
答案就藏在奧斯本法則（Osborne’s rule）之中。根據Osborne’s rule，當我們(men) 把一個(ge) 三角函數恒等式轉換為(wei) 雙曲線函數恒等式時，可以直接把cos轉換為(wei) cosh，但需要改變sin的乘積符號。
Chapter 2
來到了不少同學頭疼的矩陣（Matrix）這一章，其實矩陣這一章難就難在“信息量太大”了，而且概念又確實頗為(wei) 抽象。
就比如diagonalisation的過程，那可真是太太太長了：假設有一個(ge) A矩陣，我們(men) 得先計算出一個(ge) P矩陣（由eigenvectors組成）和一個(ge) D矩陣（由eigenvalues組成），再計算出A矩陣和P矩陣的乘積，即AP（劃重點！！不是PA。在矩陣相乘中，先後順序是非常重要的，也是決(jue) 定對錯的關(guan) 鍵）；計算出P矩陣和D矩陣的乘積，即PD；最後，可得AP=PD。我們(men) 把一個(ge) 可以寫(xie) 成A=PDP-1這種形式的矩陣稱之為(wei) diagonalisable。
這也就意味著當題目要求計算出A20的時候，你沒必要把A矩陣重複乘以20次了（那肯定考試結束還沒算出來）。由於(yu) A=PDP-1，那麽(me) A20=(PDP-1)20；又因為(wei) PP-1=I（Identity matrix，是一個(ge) 任何矩陣與(yu) 之相乘都等於(yu) 自己本身的矩陣），所以A20=PD20P-1。看似不可能計算出來的題目，就可以通過巧妙的diagonalisation解決(jue) 了。
剛開始做矩陣相關(guan) 題目時，感到困擾是正常的，不要因此急躁氣餒。而破局之法也很簡單——“無他，唯手熟爾”。
Chapter 3
第三章的章節名是微分（differentiation），相信大家都不陌生，畢竟是從(cong) A Level數學開始就耳熟能詳的概念。
那麽(me) 高數純數2的微分到底有何不同凡響之處呢？
首當其衝(chong) 便是對雙曲線函數的微分。就比如sinhx的微分是coshx，而coshx的微分是sinhx。
我把常考的微分整理了一份供大家參考，如下圖所示：
是不是覺得巨多？莫慌，這些式子絕大多數都可以在考試時下發的Formula Sheet裏找到。但是根據經驗，我還是建議大家自己學會(hui) 推這些公式，尤其是關(guan) 於(yu) inverse function的那部分。敲黑板：別以為(wei) 公式表裏有就可以偷懶了，考試可是會(hui) 要求寫(xie) 出完整過程的，隻知道結果隻能喜提0分！！
此外，翻看Formula Sheet也是有時間成本的，而考試時間非常寶貴。想想看若是你對公式掌握熟練，節省下的時間是頗為(wei) 可觀的。悄咪咪提醒一句，每年都有因為(wei) 做題太慢，所以不能做完整張卷子的考生，而他們(men) 往往得再花好幾個(ge) 月的時間去準備重考。浪費時間金錢不說，對心理也是一個(ge) 巨大的考驗，實在是得不償(chang) 失。
剩下有關(guan) 麥克勞林級數的內(nei) 容就更是小case啦～看似是很複雜的全新概念，但其實隻需要掌握多次微分的知識點，再依照公式往裏代入就行，可以說是非常樸實無華且枯燥了。
Chapter 4
既然微分是和雙曲線函數有所關(guan) 聯的，那麽(me) 無獨有偶，FP2的積分（integration）部分自然也和它密不可分。
在解決(jue) 積分部分的題目時，尤其需要注意觀察題目類型，由於(yu) 題型有些相似，建議看準題型再往上套公式，會(hui) 順暢很多，也避免踩坑。
若是遇到歸約公式（reduction formula）也不打緊，隻要把In的冪（power）分割正確就成功了一大半了。
比如下麵這道題目，直接明示了In-2的重要性，所以隻要把In分割成In-2和I2就可以了。明確了這個(ge) 核心步驟後，其他過程無非是一些A Level數學裏就已經學過的積分技巧，比如分部積分法（integration by parts）。
Chapter 5
複數（complex number）這一章的核心概念在於(yu) de Moivre’s theorem，以及一些之前A Level數學P3卷裏學到過的知識點的進階內(nei) 容。
打個(ge) 比方，之前我們(men) 就已經知道z=rcosθ+irsinθ，這是modulus-argument form；但在FP2的考綱內(nei) ，我們(men) 還需要掌握zn=(rcosθ+irsinθ)n=rn(cosnθ+isin nθ)，這就是大名鼎鼎的de Moivre’s theorem，它的重要性簡直不言而喻。可以這麽(me) 說，這個(ge) theorem是你想要進入complex number這一章的門檻，跨不過去就隻能止步於(yu) 門外了。
還有一些需要掌握的公式，如下圖：
老規矩，建議自己先推導一遍，這可以有效降低考試時遭遇“滑鐵盧”的概率。
Chapter 6
終於(yu) 來到最後一章啦～
與(yu) 之前的三張paper有所不同的是：作為(wei) FP2最後一章的微分方程（Differential Equation，之後簡稱DE）單論難度，其實並不能說是所有章節中的翹楚，但這不代表你可以輕敵。
微分方程分為(wei) 兩(liang) 種：
第一種是First order DE。一般來說有兩(liang) 類方法可以解決(jue) ，其一是分離變量法，其二是積分因子（integrating factor）。
第二種是Second order DE，情況相較於(yu) First order DE更為(wei) 複雜，需要整理出particular integral（PI）和complementary function（CF），把二者相加才可以成功得出這個(ge) 微分方程的general solution（GS）。
學習(xi) 建議
如果你認真看完了以上的內(nei) 容，就會(hui) 發現第一章的雙曲線函數的意義(yi) 非同凡響，絕不是打個(ge) 醬油就走的那類知識點，它可是在之後的幾章都一直保持著“高出鏡率”的。
所以我建議大家在學第一章的時候一定要把基礎打好，可以采取結合圖像的方法去學習(xi) 雙曲線函數的有關(guan) 內(nei) 容，再根據圖像去推導infinity和limit等相關(guan) 知識點。圖像承載的信息非常豐(feng) 富，掌握圖像會(hui) 讓之後的學習(xi) 更順遂一些～
除此之外，如果你為(wei) 了FP2的題目煩惱的話，也千萬(wan) 不要自暴自棄。首先得承認的一點是，高數純數2確實是四張卷子裏難度係數最大的那一張paper，不要著急，多給自己一些時間。可以在刷真題時，總結錯題經驗，並且盡量保證下一次不要犯同樣的錯誤，至少要保證自己是在不斷進步的，哪怕慢一些，也沒有關(guan) 係。
希望大家能夠成功攻克這一高數最難關(guan) 卡，離A*更進一步～
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