2018年英國物理奧賽BPhO Section2 Question3d題解析

這次我們(men) 來到2018年英國物理奧賽 (BPhO) 第二部分第三大題的 (d) 問，按照英國奧賽慣例，(d) 問中又包括幾個(ge) 小問，接題吧：
d) The behaviour of the boxing training ball shown in Figure 2 can be modelled as two identical vertical springs attached to a mass, m.  The springs each have a natural length l, and a spring constant k, such that an applied force of mg doubles the length of spring to 2l.  The top and bottom springs attached to the ceiling and floor respectively in a room of height 4l.
Assume the radius of the ball, .

(i) Determine the equilibrium position of the ball below the ceiling in terms of l.
(ii) The ball is given a small vertical displacement and released.  Find an expression for the period Tv for the vertical oscillations.
(iii) The ball is given a small horizontal displacement.  Using a suitable approximation provide an expression for the horizontal force Fh exerted on the ball by the springs.
(iv) Find an expression for the period of the horizontal oscillations Th and evaluate the ratio Th/Tv .
(Image credit: Kangrui Sports https://kangruisport.com/sport/punchingbags)

答案解析：
(i) 問考查的是力的平衡，題中說了球的半徑 r 遠小於(yu) 彈性繩的長度 l，所以可以把球看作一個(ge) 質點，被上下兩(liang) 個(ge) 彈性繩繃在中間：

如上圖所示，小球處於(yu) 平衡位置時，上方彈性繩由原長 l 伸長到 l1， l1 即為(wei) 此題所求；下方彈性繩由原長 l 伸長到  l2。題目中告訴我們(men) 房間高度是 4l，所以有 l1 + l2 = 4l。
再對中間的小球進行受力分析，它受到自身的重力，和兩(liang) 個(ge) 彈性繩的拉力，列力的平衡表達式：

根據胡克定律 F=kx 將上式中的 F1 和 F2 分別展開：

由於(yu) 題中已知大小為(wei) mg 的力可將彈性繩從(cong) 原長 l 伸長到 2l，即伸長量為(wei) 2l - l = l，那麽(me) 根據胡克定律可求出 k ：

將 k 代入上麵 F1 和 F2 的表達式就有：

再代入上述力的平衡表達式 F1 = mg + F2：

又因為(wei) 兩(liang) 個(ge) 彈性繩的長就是房間的高，即 l1 + l2 = 4l，所以  l2 = 4l - l1 ，代入上式消去  l2，即可求出 l1 與(yu) 原長 l 的關(guan) 係：

(ii) 小問說小球在豎直方向上下振動，求振動周期 Tv 。
一說彈簧或彈性繩的振動周期，馬上要想到簡諧運動振動周期的主流求法，利用 BPhO 公式表中的公式：

根據上式，如果能推出物體(ti) 的加速度 a 與(yu) 偏離平衡位置的位移 x 的關(guan) 係，就能算出角速度 ω。有了 ω，根據公式 T = 2π / ω 就可求出周期 T。加速度 a 又和合外力 F 通過牛頓第二定律 F = ma 緊密相連，所以我們(men) 先找合外力 F 和偏離平衡位置位移 x 的關(guan) 係：

上左圖是小球處於(yu) 平衡位置 O 點的情況，兩(liang) 個(ge) 彈性繩被拉伸時的長度 l1 、l2 與(yu) 彈性繩原長 l 的關(guan) 係我們(men) 在上一問中已經求出，標在圖上，平衡位置處小球的合外力為(wei) 零。
上右圖是把小球拉離平衡位置 O 點，假設向上拉一個(ge) 位移 x。這時兩(liang) 根彈性繩的長度都變了，上方彈性繩縮短 x，下方彈性繩拉長 x，也標在圖中。由於(yu) 小球向上偏離平衡位置，合外力大小不為(wei) 零、且力的方向向下，對合外力大小 F 進行展開：

代入上一問中求出的 k = mg / l ，繼續化簡、找到 F 和 x 的關(guan) 係：

由於(yu) F = ma，所以加速度 a 和位移 x 的關(guan) 係就迎刃而解：

再根據BPhO競賽公式表提供的 即可求出角速度 ω。注意這個(ge) 公式中有個(ge) 負號，負號的含義(yi) 是加速度方向總與(yu) 位移方向相反，以上推導我們(men) 隻涉及大小、沒涉及到方向，所以用的時候可忽略負號：

有了 ω 的表達式，周期 Tv 就出來了：

(iii) 小問難度最大，也符合打拳擊時的真實情景，這裏給小球一個(ge) 很小的水平位移 (small horizontal displacement)。題中描述位移時用的 "small" 很重要，因為(wei) 解題時會(hui) 涉及到數學中的近似 (approximation)。我們(men) 還是先通過作圖來分析問題、比較直觀：

如上圖，給一個(ge) 水平向右的位移 x，求小球在水平方向所受合外力 Fh 的表達式。題中的水平位移 x 實際上很小很小，但為(wei) 了方便看清，我在圖中把 x 畫得大一些、誇張點兒(er) 。兩(liang) 個(ge) 彈性繩的長度也由  l1 、l2  變為(wei) 了圖中的 l1’ 、l2’ 。位移 x 上下分別對應兩(liang) 個(ge) 直角三角形，我們(men) 設所對的角分別為(wei) α 和 β，如右上圖所示。由於(yu) 位移 x 很小，所以角  α 和 β 也非常非常小。
下麵直入主題，分析小球在水平方向的受力，一共兩(liang) 個(ge) 力，分別是 F1 和 F2 向左的水平分力，列表達式求水平合力：

盡量把上式展開，根據圖中的幾何關(guan) 係：

根據胡克定律把 F1 和 F2 也展開：
將上述表達式通通帶入水平合力公式並化簡：

以上公式中的 l1’ 和 l2’ 還需要用 I 來表示，這就要用到向右位移 x 很小來作近似、簡化問題了。當 x 非常非常小時，我們(men) 可以近似認為(wei) 上圖中兩(liang) 根彈性繩的繩長沒有發生變化，所以：

代入到水平合力 Fh 的表達式中即為(wei) 本題答案：

注：如果再嚴(yan) 謹一些，考慮到方向，那麽(me) Fh 和 x 方向相反，要加個(ge) 負號，最終表達式就是：

(iv)有了前三問作鋪墊，此問簡單多了。在上一問中我們(men) 找到了Fh 和 x 的關(guan) 係，那麽(me) 加速度 a 和位移 x 的關(guan) 係式就有了：

加速度 a 和位移 x 成正比、方向相反，滿足簡諧運動的條件，可用公式表中關(guan) 於(yu) 簡諧運動的表達式。求出角速度 ω 以後，再求周期 T，思路和第二小問是一樣的：

第二小問中已經求出了豎直方向振動的周期 Tv，兩(liang) 者一比就是答案：
整體(ti) 來看，本題 (ii)、(iii) 小問難，需要先推導出 F 和 x 的關(guan) 係，進而求出角速度 ω 和周期 T。尤其是第 (iii) 小問，受力分析和長度的近似處理更難想到，這也是英國物理奧賽中的精髓所在。

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