2014年英國物理奧賽BPhO Section1 (e)題解析

英國物理奧賽 (BPhO) 分為(wei) 兩(liang) 個(ge) Section，其中 Section 1 包含十幾道小題，所有題目總分一般在 70 至 90 分之間，每年總分都不一樣。但 Section 1 的試卷滿分是 50 分，也就是說在這 70 至 90 分的題目之中，你隻需要把 50 分的題目做對即可，做得再多就沒有用了，卷麵滿分不會(hui) 超過 50 分。相當於(yu) 隻需要選擇 50% 至 60% 的題目來做，選你會(hui) 的。Section 1 小題的特點是覆蓋的知識麵廣，但難度並不大；特別是和 Section 2 的大題相比，Section 1 的小題難度要小不少。
2016年以前 Section 1 是 80 分鍾完成 40 分兒(er) 的題，相當於(yu) 2 min/mark，每一分兒(er) 對應 2 分鍾的作答時間。2017 年以後要求在 80 分鍾內(nei) 完成 50 分兒(er) 的題，相當於(yu) 1.6 min/mark，即每一分兒(er) 的題有 1.6 分鍾的作答時間。下麵是 2014年 BPhO Section1 的 (e) 小問，(e) 小問分值 6 分，也就是說真實考試時你要奔著 Section 1 的滿分去，就至少要在 12 分鍾內(nei) 完成它。下麵來看題吧：

(e) Two 1.00 m lengths of wire, one copper and one tungsten, are joined vertically end to end.  The copper wire has a diameter of 0.500 mm.  When a 100 kg block is suspended from one end, the combined length of wire stretches by 6.00 cm.  What is the diameter, d, of the tungsten wire if the Young's modulus for copper is ，and that for tungsten is .

答案解析：這道題考的是楊氏模量 (Young's modulus)，根據題意我們(men) 還是先畫個(ge) 圖比較直觀：

左上圖中銅線 (copper wire) 和鎢線 (tungsten wire) 首尾相連，為(wei) 了方便看清，就把線畫得粗很多，銅線的直徑用 “dc” 標注在圖中。
右上圖是兩(liang) 條線由於(yu) 掛了重物伸長的情景，也是把圖畫得誇張了一些，能看出線明顯伸長了(實際中 6 cm 的伸長量相對於(yu) 2 m 的總長度用肉眼不容易看出來)。 銅線和鎢線伸長的長度分別在圖中標注為(wei) Δxc 和 Δxt，兩(liang) 條線一共伸長了 6 cm = 0.06 m，所以：

由於(yu) 題中給了兩(liang) 種材料的楊氏模量，我們(men) 就先把楊氏模量的公式分別列出並展開，用小標 "c" 表示 copper，"t" 表示 tungsten 有：

上式中兩(liang) 線的原長 l0 都是 1 m。A 代表線的橫截麵積，題中已知橫截麵的直徑 d，所以用圓的直徑 d 來展開其橫截麵積 A：
因為(wei) 銅線和鎢線串聯，那麽(me) 兩(liang) 線中的張力 F 就都是重物的重力，有:

注意上式中重力加速度 g 的大小我們(men) 沒有代 10，而是代的 9.81，是因為(wei) 題目中給的已知精確到了三位有效數字，所以我們(men) 代入的常數也盡量精確到三位有效數字。題中又給了銅線和鎢線的楊氏模量分別為(wei)   和 。將上述所有已知代入到楊氏模量公式中：

上式中銅線直徑 dc = 0.5 mm，而鎢線直徑 dt 是這道題的問題。我們(men) 又知道了Δxc 和 Δxt 的關(guan) 係，即：。那麽(me) 可以把上式中 Δxc 和 Δxt 移到等式左邊，其餘(yu) 的移到等式右邊、並代數化簡：

繼而根據銅線直徑 dc = 0.5 mm = 和 將上述兩(liang) 式聯立即可求出鎢線直徑 dt：

由於(yu) 題目中給的是三位有效數字，所以最終的答案也要保留三位有效數字。過程中我們(men) 可以盡量精確一些，保留到四位有效數字。
這道題從(cong) 物理的角度來看並不難，其實就是把楊氏模量公式進行展開，解題思路比較固定、模板化；而從(cong) 數學的角度來看，計算量則比較大。這也是英國物理奧賽 (BPhO) 的特點，對考生的數學計算能力要求比較高。若想在 BPhO 的 Section 1 中拿滿分，需要12分鍾內(nei) 完成此題，這麽(me) 大的計算量實屬不易！好消息是你不需要拿滿分，也能在 BPhO 中獲獎。

【競賽報名/項目谘詢+微信：mollywei007】