本題為(wei) 英國物理奧賽 (BPhO) Section 2 的 Question3，這道題又分為(wei) a), b), c) 三個(ge) 不相關(guan) 的題，今天來做一下 a) 題。這道題實際上難度並不大，但難點在於(yu) 你是不是能夠讀懂題，並將一個(ge) 實際問題轉化為(wei) 物理模型、從(cong) 而求解。如果你自己能做出來就牛了，挑戰一下吧！
A tug boat winch is fitted with friction brakes that slip when the tension in the winch cable reaches 50 kN. The winch is mounted on a 450 tonne tug which is to tow a floating barge of mass 6300 tonne. The barge is initially at rest while the tug moves away from it at. The speed of the tug at the moment that the cable becomes taut is 
. At that moment the winch friction brakes start slipping in order to prevent the cable from breaking. The thrust exerted on the tug by its propeller is 35 kN. The winch and arrangement might look something like Figure 1a and Figure 1b:
Figure 1
a) [9 marks] Calculate
(i) The time during which the brakes are slipping,
(ii) The common velocity of the tug and the barge when the brakes stop slipping.
(iii) What length of cable runs out of the drum of the winch during the time the brakes are slipping?
答案解析：
這道題的難點在於(yu) 題目難以讀懂，難以將實際問題轉化為(wei) 物理模型，一旦真正讀懂題目，做起來是比較輕鬆的！那我們(men) 就先一起弄清題目說得是啥事兒(er) ，先把已知標在下圖中：
題目的場景是一個(ge) 初速度為(wei) 
的 tug（拖船）去向左拖動一隻初始靜止的 barge（平底船），可能是 barge 出了機械故障吧。。。由於(yu) tug 有初始速度、而 barge 沒有，如果中間的 cable（纜繩）不能伸長，那麽(me) 在初始拖動瞬間、由於(yu) 兩(liang) 船位移不一致，會(hui) 導致 cable 中的張力非常之大、使其迅速斷裂。
為(wei) 了避免上述情況發生，就需要用上圖中的 winch（卷揚機）轉起來、慢慢放長 cable（纜繩），使 cable 中的張力不至於(yu) 繼續增長。題中說當 cable 中張力達到 50 kN 時，brake（製動器）開始滑動、winch 轉起來、從(cong) 而放長 cable。因此 cable 中張力的最大值就是 50 kN，之後也會(hui) 穩定在 50 kN，不會(hui) 再增長了。
第 (i) 小問要求 brake 滑動的時間，即 winch 轉動、放長 cable 這個(ge) 過程的總時間。問得比較隱晦，我們(men) 知道運動開始的瞬間、當 cable 中張力達到 50 kN時，brake就開始滑動。但問題是什麽(me) 時候 brake 停止滑動、winch 停止轉動呢？
必然是兩(liang) 船達到相同速度時，因為(wei) 如若前麵 tug 的速度比後麵的 barge 要快，就必須不斷通過 winch 的轉動來放長 cable，否則兩(liang) 船位移不一樣就會(hui) 導致 cable 斷裂。這樣我們(men) 就把問題簡化為(wei) 了：從(cong) 初始狀態到最終兩(liang) 船達到同一速度所需時間？這並不難求解。
先分析 tug 的受力情況，如上圖所示，tug 受到向左的推進器動力 F 是 35 kN，受到向右的 cable 中的張力 T 是 50 kN，又知道它的質量，那麽(me) 向右的加速度 a1 可求：
可見 tug 向右的加速度很小，它在緩慢減速。。。
同理，再分析一下後麵 barge 的受力情況和加速度。如上圖所示，barge 隻受 cable 向左的牽引力 T = 50 kN，那麽(me) 對應向左的加速度 a2 有：
由於(yu) barge 本身的質量很大，它的加速度比 tug 還要小很多。
所以整體(ti) 的過程是 tug 向左作勻減速直線運動，而 barge 向左作勻加速直線運動，但兩(liang) 船加速度都很小，所以需要一段時間才能達到共同速度。
假設兩(liang) 船最終向左的共同速度為(wei) v，分別對兩(liang) 船列勻變速運動方程有：
代入已知數據：
聯立兩(liang) 式就有：
第 (ii) 小問求 brake 停止滑動、winch 停止轉動時兩(liang) 船的共同速度 v，其實就是上一小問中的末速度 v。隻需將上一問中所求的時間 t = 60.6 s 代入到末速度 v 的表達式中即可：
第 (iii) 小問表麵上是在問整個(ge) 過程中通過 winch 的轉動，cable 伸長的長度，看起來好像很高深。。。
而實際上 cable 伸長的長度就應該等於(yu) 兩(liang) 船在運動過程中前進的位移差。因為(wei) 如果不等，那麽(me) 繩子就斷了、或鬆了，這是不可能的。所以我們(men) 就聚焦在求兩(liang) 隻船的位移、並相減求差值。還是利用前兩(liang) 小問所得結果，由於(yu) tug 作的是勻減速運動，我們(men) 知道了它的初速度、末速度、和時間，那麽(me) 位移 s1 就有：
同理，barge 作勻加速直線運動，位移 s2 有：
兩(liang) 船位移差即為(wei) cable 伸長的長度：s2 - s1 = 90.3 - 14.5 = 75.8 m = 76 m
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