2017年英國物理奧賽BPhO Section2 Question3b題解析

這是 2017 年英國物理奧賽 (BPhO) 試卷 Section 2 部分第 3 大題的 b) 題。實際考試中，即使不會(hui) a) 題，也可跳過嚐試 b) 題，因為(wei) 兩(liang) 者並無實質關(guan) 聯。這道題看起來比較唬人，實際沒有太難，爭(zheng) 取自己能做出來：

b) [8 marks] In a different geometry the winch is used to haul sand up from the bottom of a dry dock using a crane constructed from a very light framework of girders.  The crane geometry can be seen in the diagram of Figure 2.  The crane is fixed to the horizontal dock side at points A and B.  The dimensions of the sides CB, CD and BD are shown, the girder CB is vertical, and the winch is hauling a load of weight 15W.

(i) Find the magnitude of the force exerted on D by the member BD,

(ii) The tension in the member CD.

(iii) If the force on the crane at A by the ground acts vertically downwards and has a magnitude 31W, find the distance AB in terms of L.

答案解析：
(i)、(ii)小問問的是輕質杆 BD 和 CD 上的受力情況，這兩(liang) 個(ge) 力都與(yu) 點 D 有關(guan) ，所以我們(men) 集中分析 D 的受力情況。注意第 (ii) 小問中明確告訴我們(men) 了 CD 中的力是 tension，那麽(me) 為(wei) 了使 D 點受力平衡、合外力為(wei) 零，BD 杆中的力必為(wei) compression，具體(ti) 受力分析如下圖：

D 點受到三個(ge) 力，CD杆向左下方的拉力 TCD，BD杆向右上方的推力 TBD，和沙子的重力 Fg = 15W。由於(yu) D 點處於(yu) 靜止狀態，所以三力平衡、合力為(wei) 零。其中 Fg 已知，要求 TCD 和 TBD。
解題過程中肯定要利用 BC、CD、和 BD杆子已知的杆長，即它們(men) 間的幾何關(guan) 係，比較簡單的做法是構建力的三角形、使之與(yu) 三杆所構成的幾何三角形相似來列公式。於(yu) 是我們(men) 通過平行四邊形定則畫 Fg 和 TCD 的合力 F，且由於(yu) 合外力為(wei) 零，這個(ge) 合力 F 必與(yu) TBD 等長反向，大小上有 F = TBD，如下圖所示：

不難觀察到，幾何三角形 BCD 與(yu) 我們(men) 構建出的力的三角形 DGH 相似，所以可列下式：

式中 BC 和 CD 邊長均為(wei) 5L；在力的三角形中，GD 邊就是 TCD，而 GH 邊表征的是 Fg = 15W。將上述已知代入上式化簡有：

這就是第(ii)小問的答案。
第(i)小問中要求 TBD 的大小，我們(men) 還是利用上圖中的兩(liang) 個(ge) 相似三角形列式求解：

迎刃而解！
第 (iii) 小問告訴我們(men) 地麵給 A 點的力是向下的 31W，讓求 AB 間的距離，這就需要用到力矩的平衡了。先以 crane 為(wei) 整體(ti) ，畫出它在 A 和 D 兩(liang) 點的受力情況：

上圖中以 B 點為(wei) 轉軸，為(wei) 使整個(ge) crane 根據轉軸 B 不轉動，那麽(me) 兩(liang) 個(ge) 力 FA 和 Fg 關(guan) 於(yu) B 點的合力矩必然是大小相等、方向相反的，據此列力矩平衡公式：

式中的兩(liang) 個(ge) 力 FA 和 Fg 均為(wei) 已知，AB 是本小問要求的長度。BE 是力 Fg 關(guan) 於(yu) B 點的力臂：即從(cong) B 點出發，向力 Fg 所在直線做一條垂線段，交於(yu) E 點。
隻要能求出 BE 的長度，通過上式就可計算出 AB 的長度。下麵我們(men) 通過幾何關(guan) 係來推出 BE 的長度，僅(jin) 需在原圖中做一條輔助線 CG 如下：

首先根據直角三角形 BED，可列三邊的勾股定理：

上式有兩(liang) 個(ge) 未知數，所以還需在列一個(ge) 公式。
我們(men) 再看一下直角三角形 CGD，其中 CD 邊為(wei) 5L，CG邊 = BE邊，DG邊 = DE邊 - GE邊 = DE邊 - BC邊 = DE邊 - 5L。所以列勾股定理公式如下：

聯立上麵已經推得的兩(liang) 個(ge) 公式，並將它們(men) 作減法有：

DE 邊長有了，再將它代入上述其中一個(ge) 公式就可算出 BE 的邊長：

BE 邊有了，利用前述的力矩平衡公式就可求出 AB 邊長：

總結一下，本題的物理原理並不難，就是列出力的平衡、與(yu) 力矩的平衡公式；難點在於(yu) 將實際問題轉化為(wei) 物理模型，和對幾何問題的計算推導。

【競賽報名/項目谘詢+微信：mollywei007】