2017年英國物理奧賽BPhO Section2 Question3c題解析

這道題是英國物理奧賽 (BPhO)第二部分試卷中第三題的 (c) 題，從(cong) 物理的原理的角度看，題目難度適中，但對數學計算的要求非常高，從(cong) 而提升了整個(ge) 題的難度。BPhO 還是比較看重學生解決(jue) 物理問題時的數學思維能力，
c) [8 marks] The bucket of mass m is drawn up by the winch cable which exerts a steady froce F upwards, shown in Figure 3.  The bucket starts from rest and initially contains a mass m0 of sand.  The sand leaks out at a constant rate so that the bucket is empty after time t, which occurs before it reaches the top of the dry dock wall.

In terms of F, m0, m, t and g (the gravitational field strength), what is the velocity v of the bucket when it is just empty?  The friction brakes do no slip.

答案解析：
這道題的難點在於(yu) 沙子一直在漏，如果沙子不漏，那麽(me) 桶隻受向下的桶和沙子的重力、還有繩子向上的拉力，向上的合外力將保持恒定，會(hui) 向上做勻加速直線運動。
現在沙子在漏，那麽(me) 沙子的自重不斷減少，題中又告訴了繩向上的拉力 F 保持恒定，所以這種情況下，向上的合外力不斷增加、同時桶和沙子的總質量又不斷減少，那麽(me) 加速度是會(hui) 不斷增加的，這是個(ge) “變加速運動”。

要想解決(jue) “變加速運動” 就要用到微積分了，核心在於(yu) 列出任意時刻 t' 時，桶的加速度 a 隨時間 t’ 的方程，再將 a 變形為(wei) dv / dt’，繼而通過等式兩(liang) 邊積分的方法來算出末速度 v。這裏注意我們(men) 的時間變量是 t’、而不是 t，因為(wei) 題目已知給出 t 作為(wei) 整個(ge) 運動的總時間了，t 在本題中是個(ge) 常數、而不是變量。

首先，總共經過時間 t 後，桶裏一開始質量為(wei) m0 的沙子漏幹淨了，所以桶中沙子的質量隨時間的減少速率就是：

由此推得桶中沙子的質量隨時間 t' 的變化就是：

那麽(me) 桶中沙子的重力隻需在此基礎上乘以重力加速度 g：

有了沙子重力隨時間的表達式，就可以求合力了。如下圖，這桶沙子在上升過程中受到桶的重力 mg、沙子的重力 Fg 和繩子恒定不變的拉力 F：

在上升中的合力就是：
再根據牛頓第二定律，可求出加速度 a 隨時間 t’ 的表達式。但要注意不隻合力隨時間發生變化，由於(yu) 沙子一直在漏，桶和沙子的總質量隨時間也在不斷減少，所以再列個(ge) 總質量 m' 隨時間 t' 的變化：

上式中 m 代表桶的質量，固定不變；其右側(ce) 的表達式為(wei) 沙子質量隨時間 t’ 的變化關(guan) 係，在前麵已經推出來了。
有了合外力 Fnet 和總質量 m’ ，加速度就有：

寫(xie) 到這裏，物理原理的部分就基本推導完畢，下麵要靠微積分的計算能力了！為(wei) 了求末速度 v，我們(men) 要先將加速度 a 變形為(wei)  dv / dt’，再通過等式兩(liang) 邊積分來計算：



注意上式中 v 的積分下限是初速度 0、上限是末速度 v；時間 t’ 的積分下限是 0，上限是整個(ge) 運動的總時間 t。再次強調，t 是常數，而 t’ 才是變量。積分過程中也要用到題目中給的積分公式：

將被積函數求反導、並計算就有：


即為(wei) 本題答案。

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