1.設J為(wei) 三角形ABC 頂點A 所對旁切圓的圓心. 該旁切圓與(yu) 邊BC 相切於(yu) 點M ，與(yu) 直線AB 和AC 分別相切於(yu) 點K 和L . 直線LM 和BJ 相交於(yu) 點F ，直線KM 與(yu) CJ相交於(yu) 點G . 設S 是直線 AF 和BC 的交點，T 是直線AG 和BC 的交點.
證明： M 是線段ST 的中點．
（三角形 ABC 的頂點 A 所對的旁切圓是指與(yu) 邊BC 相切，並且與(yu) 邊 AB, AC 的延長線相切的 圓.）
2.設整數n≥ 3 ，正實數 a2 ,a3 , ,an 滿足a2a3 an = 1 ．證明：
3．“欺詐猜數遊戲”在兩(liang) 個(ge) 玩家甲和乙之間進行， 遊戲依賴於(yu) 兩(liang) 個(ge) 甲和乙都知道的正整數k 和n.
遊戲開始時甲先選定兩(liang) 個(ge) 整數x 和N , 1≤ x ≤ N . 甲如實告訴乙N 的值， 但對x 守口如瓶. 乙現 在試圖通過如下方式的提問來獲得關(guan) 於(yu) x 的信息: 每次提問，乙任選一個(ge) 由若幹正整數組成的集合 S （可以重複使用之前提問中使用過的集合），問甲“ x 是否屬於(yu) S ?”. 乙可以提任意數量的問題. 在乙每次提問之後， 甲必須對乙的提問立刻回答“是”或“否”，甲可以說謊話，並且說謊的次數 沒有限製，唯一的限製是甲在任意連續k +1次回答中至少有一次回答是真話.
在乙問完所有想問的問題之後，乙必須指出一個(ge) 至多包含n 個(ge) 正整數的集合X ，若x 屬於(yu) X ， 則乙獲勝； 否則甲獲勝. 證明：
（1）若n ≥2k ，則乙可保證獲勝；
（2）對所有充分大的整數k ，存在整數n ≥1.99k ，使得乙無法保證獲勝.
4.求所有的函數f∶→，使得對所有滿足 a+b+c=0 的整數a,b,c ，都有
（這裏表示整數集．）
5.已知三角形ABC中，∠BCA = 90° ，D 是過頂點 C 的高的垂足. 設X是線段CD 內(nei) 部的一點. K 是線段AX上一點， 使得BK=BC ．L 是線段 BX上一點， 使得AL=AC . 設 M 是AL 與(yu) BK 的交點.
證明: MK = ML ．
6.求所有的正整數n, 使得存在非負整數a1 , a2 , , an ，滿足
【競賽報名/項目谘詢+微信：mollywei007】
評論已經被關(guan) 閉。