引力勢能與引力勢是什麽關係？

引力勢能 (Gravitational potential energy) 是兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 之間由於(yu) 萬(wan) 有引力作用而產(chan) 生的一種勢能，它的定義(yi) 是：
"The gravitational potential energy of two bodies is the work that was done in bringing the bodies to their present position from when they were infinitely far apart."

即引力勢能是用外力將兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 從(cong) 無窮遠處拉到現有位置所做的功，兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 之間的引力勢能是由兩(liang) 者共享的，缺一不可。下麵我們(men) 嚐試著根據上述定義(yi) 來推導引力勢能的表達式。

引力勢能與(yu) 引力勢
如上圖所示，兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 質量分別為(wei) M 和 m，為(wei) 了方便推導，我們(men) 以物體(ti) M 為(wei) 原點建立坐標係。在物體(ti) M 的參考係下，物體(ti) M 本身靜止，質量為(wei) m 的物體(ti) 初始位置為(wei) x = ∞，即兩(liang) 物體(ti) 相距無窮遠。
按照定義(yi) ，指定位置的引力勢能是外力 F 把兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 拽到各自指定位置所做的功，而且在移動的過程中，兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 的速度應不變，且非常小、接近於(yu) 零。由於(yu) 我們(men) 在上圖中已經固定住了物體(ti) M，問題得到簡化，專(zhuan) 注分析物體(ti) m 即可。
在把物體(ti) m 從(cong) 無窮遠處，移動到距物體(ti) M 距離為(wei) r 處的過程中，為(wei) 使 m 速度不變，其所受合力必為(wei) 0 。如上圖所示，m 受到物體(ti) M 給它向左的萬(wan) 有引力 FG，那麽(me) 外力 F 應該與(yu) 其大小相等、指向右側(ce) ，使作用在 m 上的合力為(wei) 0。設向右為(wei) 正方向，則外力 F 的表達式為(wei) ：
引力勢能與(yu) 引力勢
式中 x 為(wei) 物體(ti) m 的橫坐標，由於(yu) 物體(ti) M 始終位於(yu) 原點 x = 0 處，所以上式中的 x 也代表 M 和 m 的距離。隨著 m 從(cong) 無窮遠處逐漸接近 M，x 越來越小，由上式可以看出，外力 F 隨之增大，是個(ge) 不斷變化的力。
引力勢能與(yu) 引力勢
對於(yu) 變力做功的問題，我們(men) 需要用到積分。如上圖，在向右的外力 F 的作用下，物體(ti) m 從(cong) x = ∞ 向左運動到 x = r 的位置處。力和位移反向，所以做負功，具體(ti) 的外力 F 的做功表達式有：
引力勢能與(yu) 引力勢
根據引力勢能的定義(yi) ，上述外力做功 W 即為(wei) 兩(liang) 物體(ti) 的引力勢能 Ep，所以引力勢能 Ep 的表達式為(wei) ：

引力勢能與(yu) 引力勢
上述公式有如下四點需要說明：

1) 引力勢能本質上也是能量，所以 Ep 是標量，單位是 "J", 焦耳；

2) 雖然引力勢能是由 M、m 兩(liang) 物體(ti) 共有的，但在實際解決(jue) 天體(ti) 問題時，我們(men) 通常固定行星 M 不動，來分析衛星 m 的運動，這種情況下通常把引力勢能 Ep 完全歸給衛星 m；
3) 由上式可知，當兩(liang) 物體(ti) 間距離 r 趨於(yu) 無窮大時，引力勢能為(wei) 0。所以我們(men) 在分析天體(ti) 之間的引力勢能時，勢能零點選在兩(liang) 物體(ti) 距離無窮遠的位置處。但分析地球表麵的重力勢能時，通常把勢能零點選在地麵。要注意天體(ti) 之間的引力勢能和地球表麵的重力勢能的不同之處；

4) 上述引力勢能 Ep 的表達式中 G、M、m 均為(wei) 常數，如果以 Ep 為(wei) 縱軸、以兩(liang) 物體(ti) 間距離 r 為(wei) 橫軸作圖，有如下圖像：
引力勢能與(yu) 引力勢
可見，Ep 的取值始終為(wei) 負值，而且兩(liang) 個(ge) 物體(ti) 越近、r 越小、Ep 負得就越多，說明引力勢能越小。因此兩(liang) 物體(ti) 距離越近、它們(men) 之間的引力勢能越小；距離越遠、引力勢能反而越大。

聊完引力勢能 (Gravitational potential energy, Ep )，我們(men) 再簡單介紹一下引力勢 (Gravitational potential, Vg) 的概念。引力勢的英文定義(yi) 是：
"The gravitational potential at a point P in a gravitational field is the work done per unit mass in bringing a small point mass m from infinity to point P."
這和引力勢能的定義(yi) 非常相似，都是把一個(ge) 質量為(wei) m 的物體(ti) 從(cong) 無窮遠處挪到一個(ge) 位置的過程中外力所做的功。不同之處在於(yu) "per unit mass"，我們(men) 知道引力勢能 Ep 直接等於(yu) 外力做功 W，而引力勢 Vg 是做功 W 除以小物體(ti) 的質量 m，表達式有：
引力勢能與(yu) 引力勢
可見引力勢 Vg 的單位是 "J / kg"。
將剛剛推導出的 Ep 的表達式帶入此式有：

這是距離行星為(wei) r 的位置處引力勢 Vg 的表達式。可見該處的引力勢 Vg 隻與(yu) 行星本身的質量 M 有關(guan) ，畢竟是它創造了周圍的引力場；而與(yu) 放入這個(ge) 引力場中的小物體(ti) 的質量 m 無關(guan) 。
若我們(men) 知道空間中一點處的引力勢 Vg，又已知放在此點的小物體(ti) 質量 m，根據上述 (1) 式，兩(liang) 者相乘即為(wei) 該小物體(ti) 所具有的引力勢能 Ep：
引力勢能與(yu) 引力勢