豎直方向的勻速圓周運動是如何進行的？

勻速圓周運動中，物體(ti) 在圓周切線方向沒有合外力，隻在半徑方向上有合外力，而且這個(ge) 合外力正好充當了圓周運動所需向心力：

式中 Fnet 是合外力（net force），Fc 是圓周運動所需向心力（centripetal force），r 表示圓周的半徑，v 表示線速度，ω 表示角速度，T 是圓周運動的周期。
水平方向的勻速圓周運動比較好處理，因為(wei) 在半徑方向物體(ti) 通常隻受一個(ge) 力，這個(ge) 力自然就充當了圓周運動的向心力。比如一根繩拉著小球在水平方向做圓周運動，那麽(me) 繩對小球的拉力，即繩的張力，就充當了小球的向心力；一輛汽車勻速轉過彎道，提供汽車做圓周運動的向心力則是地麵給汽車的摩擦力。
豎直方向的圓周運動問題由於(yu) 涉及到重力，就上升一個(ge) 難度了，我們(men) 來看下麵這道例題：

As shown in the above figure, a ball is attached to a light rod of length r = 0.50 m.  The ball has a mass m = 1.0 kg, and moves in a vertical circle with constant speed v = 2.0 m/s.   What are the forces of the rod on the ball at positions A, B, and C, respectively?

題目中要求棒給球的力，就要以球為(wei) 研究對象，分析它在 A、B、C 三點的受力情況。雖然每一點的受力情況不盡相同，但有一點是不變的：因為(wei) 該運動是勻速圓周運動，根據：

可知整個(ge) 運動中各處合外力、向心力的大小都相同，為(wei) 8 N，方向指向圓心。
下麵我們(men) 先分析 A 點處小球的受力情況：首先小球肯定受重力，又要保證合外力指向圓心，那麽(me) 棒給小球的力必須向上，且要大於(yu) 小球自身的重力，這樣兩(liang) 個(ge) 力的合力才能提供向心力嘛！受力分析（Free body diagram）如下圖所示：

根據合外力等於(yu) 向心力，列公式並代數計算：

由於(yu) B 點的情況較為(wei) 複雜，我們(men) 先來分析 C 點。C 點與(yu) A 點一個(ge) 是最高點，一個(ge) 是最低點，它們(men) 的主要不同在於(yu) C 點處重力是指向圓心的，而 A 點處重力的方向指離圓心。我們(men) 已經知道圓周運動所需向心力 Fc = 8 N，所以在 C 點的合外力也應為(wei) 8 N，向下。因為(wei) 小球向下的重力 mg = 10 N，所以棒給小球的力一定是向上的 2 N，才能保持向下 8 N 的合外力。具體(ti) 受力分析圖如下：

在 C 點，重力主要充當了向心力。需要注意的是，重力和棒給的力是小球真實受到的力，而小球勻速圓周運動所需的向心力是由這兩(liang) 個(ge) 力的合力提供的。

再來看一下 B 點的受力情況，首先，B 點的向心力指向圓心（向左），又因為(wei) 勻速圓周運動中合外力需等於(yu) 向心力，所以 B 點的合外力為(wei) 8 N，方向向左。我們(men) 知道 B 點處的小球還是受重力和棒給它的力，但為(wei) 了保證合外力向左，棒給球的力在大小和方向上都會(hui) 發生變化，如下圖所示：

棒給球豎直方向的分力 Fy 與(yu) 重力 10 N 大小相等、方向相反，棒給球水平方向的分力 Fx 則提供向左的 8 N 的向心力。因此棒給球的力應為(wei) ：

計算中要注意題目中給的是兩(liang) 位有效數字，所以答案也盡量保留兩(liang) 位有效數字，不要太多。由於(yu) 力是矢量，還要計算方向，即上圖中的 θ 角：

據此，這道題就解決(jue) 完了，可見對於(yu) 豎直方向的勻速圓周運動，由於(yu) 重力的存在，棒給球的力是不斷變化的。但變化中要找到不變的量，就是勻速圓周運動的向心力大小（即合力大小）始終恒定。
上麵這道題隻分析了三個(ge) 位置的受力情況，我們(men) 再做個(ge) 擴展，看看其它位置上棒給球的力。還是要抓住不變的量，小球的重力 Fg 是不變的，勻速圓周運動的向心力 Fc 的大小也是不變的，那麽(me) 有：

根據上式可知，“棒對球的力”等於(yu) “向心力”加上“負方向的重力”，據此用三角形法則做矢量圖：

上圖中，矢量“-Fg”大小、方向都不變，向心力 Fc 的長度不變，與(yu) 豎直方向的夾角 θ 隨著小球圓周運動中位置的改變而改變，指向圓周運動的圓心。Frod 則為(wei) 該矢量三角形的斜邊，由上圖可知，θ 不同，相應的 Frod 也不同。不難想象，有兩(liang) 處 Frod 取極值：當  θ = 0 時，即向心力豎直向下，小球處於(yu) 圓周運動最高點時，Frod 取極小值；當 θ = 180° 時，即向心力豎直向上，小球處於(yu) 圓周運動最低點時，Frod 取極大值。如下圖所示：

以上是 Fg > Fc 的情況，對於(yu) Fg 小於(yu) 或等於(yu) Fc 的情況，上述結論同樣成立。所以，對於(yu) 豎直方向的勻速圓周運動，向心力大小不變，方向時刻改變，棒對球的力，無論是大小還是方向都在時刻改變。在圓周運動最低點處，棒對球的力最大；在最高點處，棒對球的力最小。

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